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isopletas, como sería el caso, en que ninguna de las dos funcio- 

 nes primitivas fuese trireglada. 



E. Cuatro funciones de primer grado con ocho variables.— 

 Si se tuviesen las cuatro ecuaciones en coordenadas paralelas 

 u + V. Fi ( a, b ) + fi ( a, b ) = o ; u + V. Fs (g, h) + fs (g, h) = o ; 

 u + V. Fa ( d, c ) + f2 ( d, c ) = o ; u + v. F4 (m,n) + fi (m, n) = o. 



La eliminación de u, v, conduce á dos ecuaciones, cuya consti- 

 tución es 



Fi ( f2 - fs ) + F2 ( fs - fi ) + F3 ( fi - f2 ) = o; 



F2 ( f3 - f4 .) 4- F3 ( f4 - fs ) + F4 ( f2 - fs ) = o 



que contienen ocho variables, siendo cuatro de ellas comunes y 

 teniendo cada ecuación seis variables. Además las cuatro ecua- 

 ciones, se pueden combinar de tres en tres, dando cuatro constitu- 

 ciones, siendo pues las otras dos : 



Fs ( f4 - fi ) + F4 ( fi - fa ) + Fi ( f3 - f4 ) = O; 

 F4 ( fi - f2 ) + Fi ( f2 - f4 ) + F2 ( fé - fi ) = O 



dando seis de estas variables ; pero siempre, á lo menos, una de 

 cada sistema binario, se pueden encontrar las otras dos, constru- 

 yendo un abaco con cuatro sistemas de puntos doblemente ií--0- 

 pletos. 



Bien se ve, la complicación de una tabla gráfica semejante, la que 

 puede reducirse á siete variables, seis, cinco y cuatro ; en este 

 último caso, no hay puntos doblemente isopletos, teniéndose dos 

 ecuaciones con cuatro variables, entrando en cada ecuación tres de 

 éstas, dando dos de ellas se encuentran las otras dos, como ya 

 hemos visto, en el ejemplo v = gt ; e = \ gi^ . 



En el caso general, que se dan las seis : a, b, d, c, g, rn; donde 

 se corta a con b y d con c, se une por una recta, la que corta á g, 

 en el punto que determina h y también corta á m, en el punto que 

 sirve para determinar n. 



F. Cuatro funciones que no son de primer grado. — Si las 

 cuatro funciones en u, v no son de primer grado, aún en el caso 

 más sencillo de sólo contener cada una, una variable, la solución 

 sólo seria posible por tangentes comunes ; pero como la elimina- 

 ción de u, V conduciría á dos ecuaciones en que hay dos variables 

 comunes y éstas se pueden tomar, según el principio general, arbi- 



