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afirmado por Euclides y que tenía razón Newton de quejarse, por 

 haberse dedicado á otras obras de matemáticas antes de haber es- 

 tudiado y meditado los Elementos de Euclides; así como La- 

 GRANGE, que decía que la Geometría era una lengua muerta desde 

 Euclides, que el que no estudiaba esos Elementos para saber 

 Geometría, se parecería al que aprendía latín ó griego en la obras 

 modernas escritas en estos idiomas. 



2. Demostraciones directas. — Se ha pretendido, sin conse- 

 guirlo, demostrar directamente el postulado de Euclides, ya to- 

 mando el caso particular en que uno de los ángulos interiores es 

 recto y el otro agudo y bajando de esta oblicua perpendiculares á 

 la secante, ya como Legendre, reduciéndose á la consideración de 

 los biángulos; otros como Bertrand, de Genova, fundándose en la 

 relación de ciertas magnitudes infinitas, en que el ángulo es un in- 

 finito de segundo orden, y el biángulo, espacio encerrado por la 

 secante y dos paralelas, es un infinito de primer orden; y algunos, 

 como Lamarle, han querido demostrar el postvilado de Euclides, 

 considerando la rotación de una recta alrededor de un punto mó- 

 vil; pero todas estas demostraciones, ó son falsas, ó implícitamente 

 suponen un postulado, consecuencia inmediata del que se desea 

 demostrar. 



3. Demostraciones indirectas. — Una segunda vía, que tampoco 

 ha dado buen resultado, consiste en demostrar una de las conse- 

 cuencias del postulado, como la proposición: que por un punto 

 sólo se puede trasar una paralela á otra recta dada, ó bien el 

 famoso teorema que los tres ángulos de un tridngido rectüineo 

 valen juntos dos rectos. Legendre demostró que la suma no 

 pasa de dos rectos, y que si existe un solo triángulo en que esa 

 suma valga dos rectos, lo mismo sucedería en todos los triángulos 

 rectilíneos posibles; pero no pudo pasar más allá. 



El mismo geómetra pretendió la demostración directa, partiendo 

 de los triángulos que tienen un lado y los dos ángulos adyacentes, 

 respectivamente iguales, y creyendo que el tercer ángulo era inde- 

 pendiente de ese lado, lo que motivó una viva discusión; lo mismo 

 que la otra demostración que dedujo, construyendo una serie de 

 triángulos, en que dos de los ángulos tendían á cero. 



Otros matemáticos, admitiendo que el área de un plano indefi- 

 nido equivale al espacio encerrado por cuatro ángulos rectos, con- 

 sideraron los ángulos externos de im triángulo, haciendo girar 

 cada lado prolongado alrededor de su vértice hasta confundirse 



