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con el lado inmediato; ó bien estudiaron el espacio encerrado por 

 los lados del triángulo prolongados indefinidamente por ambos ex- 

 tremos; pero tanto estas demostraciones como la de Canter y otras, 

 carecen del rigor matemático, ó bien suponen postulados menos 

 claros que el de Euclides. 



4. Geometría de Lowatschewski, — Los geómetras del Norte 

 de Europa, á principios de este siglo, dieron un ataque tremendo 

 al postulado de Euclides, que si bien resistió impertérritamente, 

 se conmovió hasta los cimientos el edificio geométrico, á tal punto, 

 que los matemáticos, emocionados, temieron por la estabilidad de 

 verdades seculares, cuya exactitud se cree eterna. 



En efecto, el matemático ruso Lowatschewski, de Kazan, se 

 dijo: si el postulado depende de los demás axiomas geométricos, 

 admitiendo éstos y negando aquél, debe llegarse á proposiciones 

 contradictorias. Como la consecuencia inmediata del referido pos- 

 tulado, es que por un punto sólo se puede trazar una paralela 

 á una recta dada, el geómetra ruso admitió, que por un punto se 

 pueden trazar muchas paralelas á una recta dada. Las conse- 

 cuencias eran contrarias á las déla Geometría de Euclides, así: los 

 tres ángulos de un triángulo valían menos de dos rectos; las 

 tres perpendiculares en el medio délos lados de un triángulo 

 pueden ser paralelas, y así multitud de teoremas, que aunque dis- 

 tintos de los actuales, sin embargo no tenían contradicción entre sí. 



Tanto el matemático húngaro Juan Bolyai, como Gauss en su 

 correspondencia con Shumacher, admitieron las consecuencias ló- 

 gicas del geómetra ruso; se llamó á esta Geometría imaginaria y 

 se promovió la cuestión de cuál era la verdadera, si la del mate- 

 mático alejandrino ó la del ruso, y además, siendo las consecuen- 

 cias infinitas: ¿quién podía asegurar que no viniera la contradic- 

 ción en la nueva Geometría? 



5. Geometría de Riemann. — La cuestión no había terminado 

 y avanzó inmensamente, cuando Riemann, geómetra alemán, acep- 

 tando las ideas de Lowatschewski, tomó como postulado que ^or 

 un pimto no se puede trazar ninguna paralela á una recta 

 dada. He allí una tercera Geometría, distinta de las anteriores, 

 cuyas consecuencias son también diferentes; así: los tres ángulos 

 de un triángulo valen más de dos rectos; existen puntos de que 

 se pueden bajar muchas perpendiculares á una recta; hay casos 

 en que: por dos ptmtos pueden pasar muchas rectas; es decir: 

 que las rectas de esta Geometría siempre se cortan en dos puntos. 



