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Este segundo ataque, dirigido contra el postulado de Euclides, 

 no sólo fué ineficaz, sino que enderezando el edificio geométrico, 

 mostró que sus bases tienen la suficiente estabilidad, y en lugar de 

 seguir el consejo que dá Félix Dauge en su Metodología Mate- 

 mática, de evitar hablar á los principiantes en términos que les 

 haga creer que la Geometría no reposa sobre bases inatacables, es 

 mejor la opinión de H. Poincaré, que es necesario demostrar que 

 la Geometría euclidiana no tiene nada que temer, ni de las expe- 

 riencias nuevas, ni de las hipótesis del porvenir, 



6. Geometría esférica. — Los trabajos de Riemann, á media- 

 dos de este siglo, han inspirado la mayor parte de las investigaciones 

 recientes, entre las cuales pueden citarse las de Beltrami y de 

 VON Helmholtz, así como la tarea que otros se han impuesto, de 

 dar á conocer estos resultados, como J. Houel que ha traducido del 

 alemán el Estudio sobre la teoría de las paralelas por Lowats- 

 CHEWSKi, y del italiano el Ensayo de interpretación de la Geo- 

 metría no euclidiana, por E. Beltrami. 



Los primeros indicios de explicación los proporcionó, como 

 hemos dicho, la Geometría de Riemann, porque sus teoremas 

 referidos á las rectas, son los mismos que se conocían para 

 los círculos máximos de una esfera, pues no es posible por 

 un punto de la esfera trazar un círculo máximo paralelo á otro, 

 siempre se cortan en dos puntos diametralmente opuestos, y del 

 polo de un círculo máximo se le pueden bajar infinidad de círculos 

 máximos perpendiculares; finalmente, hace siglos que se sabe, que 

 en un triángulo esférico los tres ángulos valen más de dos rectos; 

 siendo el exceso esférico, igual al área del triángulo dividida por 

 el cuadrado del radio de la esfera. 



Las necesidades de la Astronomía, Geodesia y Navegación ha- 

 bía obligado, desde la más remota antigüedad, á estudiar los trián- 

 gulos esféricos, pero éstos no son las únicas figuras que se pue- 

 den considerar sobre la esfera; solamente á fines del siglo pasado, 

 los geómetras del Norte de Europa se ocuparon de resolver sobre 

 la superficie de la esfera, cuestiones análogas á las que se proponen 

 sobre el plano. 



Lexell, en las actas de San Petersburgo, trató de las propiedades 

 de los círculos descriptos sobre la esfera, análogas á las que tienen 

 los círculos construidos sobre el plano, indicando el elegante teo- 

 rema, sobre la curva, lugar geométrico, de los vértices de los trián- 

 gulos esféricos, que tienen la misma área é igual base. Fuss, en dos 



