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ciendo el radio infinito se convierte la esfera en un plano, resulta 

 que la Geometría plana es un caso particular de la Geometría 

 esférica; todos los teoremas de ésta, tienen sus correspondientes 

 en aquélla, haciendo el radio infinito. 



Como no es posible representar materialmente ideas abstractas, 

 se forman schemas sobre las que versa el razonamiento; así, traza- 

 mos en una pizarra dos rectas paralelas; pero realmente no son las 

 rectas geométricas que sólo tienen longitud, ni tal vez son verdade- 

 ras paralelas; pero las consideramos como tales, y si esto sucede en 

 la Geometría plana, con más razón son puras indicaciones las fi- 

 guras esféricas que por medio de curvas arbitrarias trazamos sobre 

 un plano y sobre las que razonamos al tratar de la Geometría es- 

 férica. 



De allí resulta la interpretación de la Geometría de Riemarui, 

 que trazando rectas sobre un plano, sus razonamientos versaban 

 realmente sobre la Geometría esférica, representando dichas rec- 

 tas círculos máximos y, por lo tanto, no estaba en contradicción 

 con la Geometría de Euclides, en que las rectas representan lí- 

 neas distintas de los círculos máximos, ó si se quiere, estos mismos 

 círculos en el caso particular de que su radio es infinito. 



7. Geometría pseudo-esférica. — Faltaba interpretar la Geo- 

 metría de Lowatschewski, de lo que se encargó Beltrami; par- 

 tiendo de la superposición, como criterio de igualdad, resulta: que si 

 la superficie en que está trazada la figura, es extensible, se cam- 

 biará la magnitud; si &■& flexible , se alterará en cierto modo la forma, 

 conservando el área y las longitudes; luego admitiendo, que las fi- 

 guras estén construidas sobre superficies ^^x/6/^s é inextensibles , 

 se puede aphcar la superposición, como lo hizo Euclides, sin que 

 sea necesaria la rigidez, de donde se deduce que la Geometría 

 plana no cambia, hasta cierto punto, considerando el trazo sobre 

 superficies desarrollables, como las cilindricas y cónicas; además, 

 la flexibilidad no varía en nada la forma, en aquellas superficies 

 uniformes en todas sus partes y que los matemáticos llaman de 

 curvatura uniforme. Como se sabe, Gauss demostró el famoso teo- 

 rema sobre las superficies flexibles en que es constante el producto 

 de los radios de curvatura de las secciones principales. 



Dos figuras iguafes, trazadas, cada una, sobre dos superficies 

 flexibles correspondientes, se pueden superponer; por ejemplo : 

 un triángulo construido sobre un plano y sobre un cilindro ; pero 

 una de ellas tien,e que deformarse ; solamente se conserva inalte- 



