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rabie del todo, cuando las superficies flexibles tienen iguales los 

 radios de curvatura de las secciones principales; esta superficie es 

 la esfera, y entonces el producto citado es i? 2_ 



Cuando R es infinito, se tiene el plano, y las figuras trazadas 

 sobre él constituyen la Geometría de Euclides. Cuando R es real 

 y finita, resulta la esfera, y las figuras contruídas sobre ella, forman 

 la Geometría de Riemann. Finalmente, si R es imaginaria y por 

 lo mismo su cuadrado negativo, aparece la superficie llamada 

 pseudo-esfera, y las figuras, formadas sobre esta, dan lugar á la 

 Geometríade Lowatschewski, como lo demostró BELTRAMi,que en 

 estas superficies los ángulos de un triángvilo valen menos que dos 

 rectos, y el defecto esférico es igual al área del triángulo dividida 

 por el cuadrado del radio, y que trazando una linea geodésica, 

 existe siempre por un punto cualquiera de la superficie una asín- 

 tota que separa las líneas secantes de aquellas que no cortan á la 

 referida línea geodésica; todas pasan por ese punto, y el geómetra 

 ruso las consideró como paralelas, supuesto que prolongadas al 

 infinito no cortaii á la geodésica; estas curvas del espacio las repre- 

 sentó como rectas sobre el plano, de manera que sus razonamien- 

 tos realmente se referían á las pseudo-circunferencias, que son 

 hipérbolas equiláteras, trazadas en un plano perpendicular al plano 

 de una circunferencia ; en este plano trazaba Lowatschewski 

 sus rectas representativas de esas hipérbolas equiláteras normales. 



8. Otras geometrías imaginarias. — Después de los importan- 

 tes trabajos que acabamos de citar, se han explorado dos vías : la 

 primera se encamina á los principios fundamentales de la Geome- 

 tría y por lo tanto se dirige á la Filosofía de las ciencias; la 

 segunda lleva por objeto generalizar las interpretaciones que se 

 han dado á las Geometrías no eiiclidianas y por lo mismo su 

 dirección es puramente matemática. 



Asi algunos geómetras, considerando que la rotación en su plano, 

 de la mitad de un arco de círculo, alrededor del punto medio, no 

 coincide con la otra mitad, por encontrarse entre sí las concavi- 

 dades ó convexidades y como para demostrar que se puede siem- 

 pre levantar en un punto una perpendicular á una recta, se considera 

 una recta móvil alrededor del punto, primitivamente confundida 

 con la recta fija y después gira hasta coincidir con la prolongación; 

 admitiendo como posible la rotación y rechazando que se pueda 

 continuar hasta que las dos rectas se confundan en la prolonga- 

 ción, han constituido una cuarta Geometría, tan coherente como 



