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las tres anteriores ; pero sus teoremas son mucho más extraños que 

 los de LowATSCHEWSKi y de Riemann ; tal como una recta real 

 puede ser perpendicular á sí misma; las oblicuas que equidis- 

 tan del pie de la perpendicular son desiguales. Lo que ha 

 motivado una discusión reciente en 1889 por los señores Renou- 

 viER, Léchalas y Calirión bajo el nombre de postulado de 

 perpendicularidad. 



El mismo Riemann ha constituido una infinidad de geometrías 

 diferentes, según la manera como se defina la longitud de una 

 curva. Como el número de axiomas implícitos en las demostracio- 

 nes clásicas es mayor que el necesario, sería bueno reducirlos al 

 mínimo ; pero entonces se presenta la cuestión : primeramente, si 

 es posible esa disminución, y en segando lugar, si el número de 

 axiomas necesarios y el de geometrías imaginables no es infinito ; 

 pero SoPHUS Lie ha demostrado el siguiente teorema, admitiendo : 

 1.° El espacio de n dimensiones; 2." El movimiento de una figura 

 invariable es posible ; 3.° Se necesitan p condiciones para deter- 

 minar la posición de esta figura en el espacio ; entonces : el número 

 de geometrías compatibles con estas premisas será limitado y 

 siendo n dado se puede asignar k p un límite superior, y por con- 

 siguiente es finito el número de geometrías de tres dimensiones; 

 muchas de las geometrías de Riemann son puramente analíticas, 

 y no se prestan á demostraciones análogas á las de Euclides. 



H. PoiNCARÉ discutiendo la naturaleza de los axiomas geomé- 

 tricos, llega á la conclusión que no %ovl juicios sintéticos, ni he- 

 chos experimentales, porque sería imposible negarlos y no cabe 

 la experiencia sobre rectas y circunferencias ideales. Según ese 

 geómetra son convenciones, y la elección en todas las posibles es 

 guiada por los hechos experimentales ; pero permanece libre 

 solamente limitándola á la necesidad de evitar contradicción, es 

 decir, que los axiomas de geometría son definiciones disfra- 

 zadas. 



9. Geometría de las superficies. — La segunda vía, como hemos 

 dicho, se refiere á la Geometría de las superficies ; como se sabe, 

 en cada punto de una superficie se puede trazar generalmente un 

 plano tangente y una normal, trazando planos que pasen por ésta» 

 resultan diferentes secciones nc^rmales; se llaman principales las 

 que tienen mayor y menor radio de curvatura, y según el teorema 

 de EuLER se expresa el radio de curvatura de vma sección normal 

 en función de los radios de las principales, llamándose el punto un 



