ombligo, cuando todas las secciones normales tienen igual curva- 

 tura ; en cuanto á las secciones oblicuas, mediante el teorema de 

 Meunier, se determina su radio de curvatura, porque es la proyec- 

 ción del radio de la sección normal que pasa por la misma tan- 

 gente. 



Tomando dos puntos sobre la superficie, se concibe que entre 

 ellos se puede trazar u.na linea que sea la más corta, la que se 

 llama linea geodésica, cuyo plano osculador pasa por la normal. 

 Cada superficie tiene una Geometría propia, las líneas geodésicas 

 corresponden á las rectas del plano y á las circunferencias máxi- 

 mas en la esfera. Existen propiedades comunes para todas estas 

 geometrías ; así, el lugar geométrico de todos los puntos que equi- 

 distan de uno de la superficie, es normal á las geodésicas que 

 forman los radios, y si se traza la curva que corresponde á la elipse 

 ó hipérbola, la línea geodésica tangente es la bisectriz del ángulo 

 de las geodésicas, que forman los radios vectores. 



Ya hemos dicho que la geometría de la esfera y de la pseudo- 

 esfera han sido estudiadas detenidamente, lo mismo la Geometría 

 del hiperboloide de una hoja ha sido considerada desde 1847 por 

 Plucker, y por Chasles en I8Ó1. En Jas superficies de segundo 

 grado, el producto de la perpendicular bajada del centro sobre el 

 plano tangente, multiplicada por el diámetro de la sección central, 

 paralelo á la tangente de la geodésica, es constante; este producto 

 es el mismo para todas las líneas geodésicas que pasan por un 

 ombligo ; las geodésicas que unen un punto cualquiera á dos om- 

 bligos hacen ángulos iguales con las líneas de curvatura que 

 pasan por este punto, y el referido producto tiene el mismo valor 

 para todas las geodésicas tangentes á la misma línea de curvatura, 

 y así multitud de propiedades, que representándolas sobre el plano, 

 conducen á teoremas que no coincidirían con los de la Geometría 

 de EuCLiDES ; aunque otros estarían en conformidad, porque las 

 líneas de curvatura, las líneas geodésicas, las líneas de nivel y las 

 líneas de máxima pendiente gozan de muchas propiedades comu- 

 nes con las rectas, que las representan en el plano. 



10. Geometría más cÓMODA.^De lo anterior se deduce, en 

 conclusión, que ninguna geometría puede ser más verdadera que 

 otra, únicamente pueden ser más cómodas y bajo este punto de 

 vista la Geometría de Euclides es y será la que ofrezca más como- 

 didades, ya porque es más simple, ya porque se acoordina bastante 

 bien con las propiedades de los sóhdos naturales. 



