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Se ha querido apelar á la Astronomía para decidir entre las tres 

 geometrías principales ; porque, si la de Lowatschewski es ver- 

 dadera, la paralaje de una estrella lejana sería finita, en la de Rie- 

 MANN sería negativa y en la de Euclides tendería á cero ; pero 

 aun admitiendo que la Astronomía indicase algo sobre esto, toda- 

 vía quedaba la naturaleza de la trayectoria luminosa, y sería más 

 ventajoso admitir que ésta no era rigurosamente línea recta, que 

 cambiar la Geometría de Euclides; por consiguiente, ésta no tiene 

 nada que temer de ulteriores experiencias. 



II. Plan DEL tema.— Para indicar el estado délas Geometrías 

 no euclidianas, nos vamos á ocupar : i." Demostraciones geomé- 

 tricas ; 2." Definiciones generales ; 3.° Figuras elementales ; 4." 

 Trigonometría ; 5." Áreas ; 6." Círculo ; 7.° Geometría analítica ; 

 8." Secciones cónicas esféricas; g.° Geometría del espacio. 



Hemos elegido el método analítico para esta exposición didác- 

 tica, para poder abrazar las tres Geometrías en fórmulas generales, 

 pues de otra manera era necesario demostraciones geométricas 

 especiales para cada una y para dar idea del método geométrico 

 semejante al usado por Euclides; exponemos primeramente las 

 Demostraciones geotnétricas de la pseudo-esférica, ya que son 

 más conocidas las construcciones gráficas de la Geometría esférica. 



II 

 Demostraciones geométricas 



12. Definición de paralelismo. — Todas las rectas trazadas 

 en un plano por un mismo punto, se distribuyen, respecto á una 

 recta situada en el mismo plano, en dos clases : rectas que cortan 

 á la recta dada, y rectas que no la cortan. Se llama paralela de 

 la recta considerada, á la recta que forma el límite común entre 

 esas dos clases de rectas. 



Sea la recta B C,y del punto A, bajemos la perpendicular A D, 

 y á ésta elevemos la perpendicular A H. En el ángulo recto 

 H A D, admitamos que hay rectas, como A E, que cortan á B C, y 

 rectas, como A J, que no la cortan ; necesariamente al pasar de 

 las rectas A E, á las A J existe la recta A F que separa las dos 

 clases, la que llamaremos paralela á B C, bajo el ángulo F A D, y 



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