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á la distancia K'D = d. El ángulo de paralelismo F A D lo in- 

 dicaremos Y>or P (d). 



Como el ángulo P ( d) es menor que un recto, formando al otro 

 lado de A D el ángulo G'A D = P (d), también A G' será para- 

 lela á la prolongación D C, de manera, que en esta hipótesis hay 

 que distinguir el sentido del paralelismo. 



Todas las rectas comprendidas en el ángulo F A G' son secan, 

 tes, las que están en el ángulo G A F' prolongadas por A también 

 son secantes ; pero las rectas que están en los ángulos G A F y 

 G' A F' no cortan á B C, por más que se prolonguen, es decir, 

 que hay muchas paralelas trazadas por el punto A á la recta B C. 



Si el ángulo de paralelismo P(d) es recto, entonces sólo 

 existe la paralela H H', porque se desvanece el ángulo F A G de 

 las no, secantes. El ángulo de paralelismo no puede ser obtuso, 

 porque entonces la recta límite prolongada por A cortaría á B C ; 

 en este caso no existe ninguna paralela. 



El carácter delparalelisino, cuando el ángulo es recto ó agudo, 

 es que la línea llega á ser secante por la menor desviación hacia 

 el lado donde está situada la paralela. Partiendo de esta consi- 

 deración, LoWATSCHEWSKi demostró entre otras, las siguientes pro- 

 posiciones. 



13. Teorema I. — Una linea recta conserva el carácter del 

 paralelismo en todos sus puntos. 



Sea la recta A B paralela á C D en el punto A, de donde se ha 

 bajado la perpendicular A C. 



Tomemos el punto Q, bajemos la perpendicular Q P, tracemos 

 la recta Q N, que se desvía lo menos posible de Q B, tomemos 

 una parte cualquiera Q M y tracemos A M, que desviándose en 

 el punto A, será secante y cortará á la paralela en D. 



Ahora bien, la recta Q M ha entrado en el triángulo A C D, ya 

 cortó al lado A D en M, no puede cortar á A C, porque habiendo 

 cortado á Q P en Q, que está fuera del triángulo, no puede volver 

 á cortarla dentro de él ; luego cortará el tercer lado C D, y por lo 

 mismo es secante, y Q B es todavía paralela en Q. 



Sea en segundo lugar el punto S, bajemos la perpendicular S T, 

 tomemos A F tan pequeño como se quiera y tracemos la recta 

 S F, que se desvía de la S B; construyase el ángulo B A D igual á 

 A S F y A D cortará á C D por desviarse en el punto A de la 

 paralela A B. 



Ahora bien, la recta S F ha entrado al triángulo ACD, ya 



