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cortó á A C en F, no puede cortar á A D por la igualdad de los 

 ángulos, luego tiene que atravesar al lado C D en X, y por lo 

 mismo es secante, y S B es todavía paralela en el punto S á la 

 recta T D. 



14. Teorema II. — Dos rectas son siempre recíprocamente 

 paralelas. 



Sea A B paralela á C D, y bajemos la perpendicular A C, de- 

 cimos que también C D es paralela á A B, es decir, que trazando 

 la recta C E, que se desvía de C D, corta á la recta A B. 



En efecto, bajemos la perpendicular A P y como A C es hi- 

 potenvisa del triángulo rectángulo A C P, será mayor que A P. 

 Hagamos girar el ángulo B A P, hasta que A P coincida con A Q, 

 entonces A B toma la posición A L, y habiéndose desviado en A, 

 corta á la paralela en D. 



La recta C E, toma la posición Q H perpendicular á A C, y 

 como está dentro del triángulo A C D y no puede cortar á C D 

 por la igualdad de los ángulos rectos en Q y en C, tendrá que 

 cortar al lado A D en L ; volviendo la figura á su primera posi- 

 ción, A D coincide con A B y Q H cae sobre C E, y el punto L 

 estando sobre las dos rectas, resulta que C E corta á A B, y por 

 lo tanto C D es paralela á A B en el punto C. 



15. Teorema III. — La suma de los tres ángulos de iin trián- 

 gulo no puede pasar de dos rectos. 



Sea el triángulo ABC; admitamos que los ángulos A B C + 

 BAC + ACB>2R. Tomando C E = E F= = B C, cons- 

 truyamos los triángulos C D E, E G F,.... iguales á A B C como te- 

 nemos en el punto C, que ACB-|-DCE + ACD = 2 R, ten- 

 dremos también suprimiendo D C E = A B C, que B A C ^ A C D 

 luego B C ^ A D, llamemos d la diferencia ; resulta que B C — 

 AD= ¿?. 



Como los triángulos A C D, D E G...... son también iguales, su- 

 poniendo que haya n, resulta que la diferencia B Y — A X = « d ; 

 tomando n suficientemente grande se puede llegar á // í^ ^ A B + 

 Y X = 2 A B, entonces tenemos BY — AX;>AB -j-Y X, es de- 

 cir, BY^AB + AX + XY, la recta mayor que la línea que- 

 brada, lo que es absurdo; luego también es imposible que A B C + 

 B A C + A C B mayor que dos rectos. 



16. Teorema IV. — Si existe un solo triángulo en el cual los 

 tres ángulos valgan dos rectos ^ en todos los triángulos posi- 

 bles, también la suma de los tres ángulos valdrán dos rectos. 



