I." Sea el triángulo A C B, en que se realiza CAB + ABC + 

 A C B = 2 R, construyamos el triángulo BCE=ACB, de ma- 

 nera que tenemos los ángulos ABC = BCEyACB = CBEy 

 los lados AB = CE y AC=:BE; prolonguemos los lados de 

 modo que BF = AByCD=AC, y unamos E con D y con F. 



Como en el punto B los tres ángulos valen dos rectos tendre- 

 mos : ABC + CBE + EBF = 2R, de allí resulta el ángulo 

 EBF = CAB, y por lo mismo los triángulos E B F y C A B 

 iguales ; repitiendo lo anterior para el punto C, resulta que tam- 

 bién los triángulos D C E y C A B son iguales; es decir, que los 

 cuatro triángulos son iguales. En el punto E tenemos el ángulo 

 DEC = ABC; CEB = CAB; BEF = ACB; y sumando re- 

 sulta D EC + CEB + BEF=2 R, y por consiguiente D F 

 es una linea recta. 



Luego el triángulo D A F que tiene los lados dobles del A C B, 

 el ángulo A común, elD=:CyelF = B; también sus tres ángulos 

 valen dos rectos y del mismo modo se pueden formar triángulos 



que tengan los lados 4, 8 veces mayor, sumando siempre sus 



tres ángulos 2 rectos. 



2° — Si un triángulo tiene un ángulo común con el que sus ángulos 

 suman dos rectos, también los ángulos de aquél sumarán dos recios. 



Sea B A C el triángulo que tiene el ángulo común con P A Q ; 

 duplicando sucesivamente los lados del primero, llegaremos al 

 triángulo A M N, que tiene los lados mayores que el P A Q y ade- 

 más por la demostración anterior, los ángulos A + M + N = 2R. 



Tracemos la recta M Q y sumemos los ángulos de los tres trián- 

 gulos APQ, PQM y MQN, tendremos que se reducen á los 

 ángulos en P, más los ángulos en Q, más los ángulos del triángulo 

 A M N, que valen dos rectos ; luego todos valen seis rectos, es decir : 



APQ+AQP+PAQj 

 MPQ + MQP + PMQU=6 R 

 Q M N + M Q N -f M N Q 1 



y como cada suma parcial no pasa de dos rectos, es preciso que 

 cada una valga los dos rectos, es decir, que los ángulos del trián- 

 gulo APQ valen dos rectos. 



3-° — Con estos dos lemas, vamos á demostrar, que los ángulos 

 de un triángulo cualquiera, ah c, valen dos rectos si esta suma es 

 la de los ángulos de un triánofulo ABC. 



