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Como los ángulos de abe, no pasan de dos rectos, cuando 

 menos un ángulo de éste debe ser menor que uno del A B C, en el 

 caso de que los tres ángulos no sean respectivamente iguales. 



Sea el ángulo & « c << B A C, entonces construyamos el ángu- 

 lo 6 «/= B A C y tracemos la recta cualquiera b f. Entonces el 

 triángulo A B C y el 6 rt /, tienen el ángulo A común ; luego los 

 ángulos del triángulo b «/valen dos rectos. 



Ahora bien, los triángulos abf y ab ¡n, tienen el ángulo en b 

 común, luego los ángulos del triángulo a b ni valen dos rectos. 

 Finalmente, los triángulos ab my b a c, tienen el ángulo en a co- 

 mún, luego los tres ángulos del triángulo abe valen dos rectos. 



17. Teorema V— Por un punto se puede trazar una recta, 

 que haga con otra recta dada un ángulo tan pequeño como se 

 quiera. 



Del punto A bajemos la perpendicular A B á la recta dada B C. 

 Tomemos un punto D cualquiera y tracemos la recta A D, en se- 

 guida, tomemos D E = A D y tiremos la recta A E. En el triángulo 

 A D E, la suma de los ángulos es 2 R — a -\- ib, que debe ser me- 

 nor ó igual que dos rectos 2 R ; luego: 



2 b — a<C = y b <C= ~. 



Después tomemos E F igual á A E y sacaremos que 



y asi sucesivamente, de modo que los ángulos a,b, c van siendo 



cada uno, cuando más la mitad del anterior ; por consiguiente, se 

 puede llegar á vm ángulo tan pequeño como se quiera. 



18. Teorema VI — Si dos perpendiculares á una misma rec- 

 ta son paralelas entre si, la suma de los ángulos de un trián- 

 gulo rectilíneo valen dos rectos. 



Sean A B y C D perpendiculares á A C y que sean paralelas, de 

 modo que el ángulo de paralelismo B A C es recto. 



Tomemos los puntos E, G y tracemos las rectas A E y A G, sea 

 la suma de los ángulos del triángulo rectángulo AGE igual 2 R — a, 

 y la de los ángulos del triángulo AEG igual 2 R — 3> entonces 

 la suma de los ángulos del triángulo A C G que abraza los ante- 

 riores, suprimiendo los en E que valen 2 R, será 2 R — a — ¡3. 



También tenemos parala suma de los ángulos del triángulo A C G 



