— 86 — 



el valor R — a-\- b-\-R, igualando con lo anterior resulta a + 3 

 = a — b. 



Acercándose A G á la paralela A B, el ángulo a tiende á cero y 

 por el teorema anterior b también tiende á cero en el limite ot + ¡j 

 = o ; luego a = o y 3 ^ o y los tres ángulos del triángulo rectán" 

 guio A C E igual á 2 R, cuando el ángulo del paralelismo es recto 

 y cualquiera que sea la distancia A C. 



19. Teorema VII — Si el ángulo de paralelismo no es recto, 

 los tres ángulos de un triángulo rectilíneo valen menos que 

 dos rectos. 



Razonando como antes, tenemos los ángulos del triángulo A C E 

 igual á 2 R — a, los del triángulo AEG igual á 2 R — P, de donde 

 los del triángulo rectángulo ACG:=2R — a — g- 



Pero también tenemos para los ángulos del último triángulo : 

 '^ { d) — «+ b -\-V^; é igualando con lo anterior, resulta : a + 3 

 =a — b + R — P ('fi? j ; en el límite se tiene que a + íj = R — F (d ); 

 luego ot y 3 no son nulos y depende su valor de la distancia d, y los 

 tres ángulos del triángulo AGE valen menos que dos rectos y 

 todavía menos los del triángulo rectángulo A C G. 



La hipótesis del teorema anterior es el fundamento de la Geome- 

 tría euclidiana y de la Trigonometría plana, y la hipótesis de este 

 teorema puede ser igualmente admitida sin conducir á contradic- 

 ción en los resultados, es la base de la Geometría no euclidiana 

 y de la Trigonometría pseudo-esférica, 



20. Teorema VIII — Dado un ángulo agudo cualquiera se 

 puede hallar una distancia tal, para que ese ángulo sea el del 

 paralelismo. 



Sea A B C el ángulo agudo dado ; tomemos un punto Q y baje- 

 mos la perpendicular Q P, hagamos P P' = B P y levantemos la 

 perpendicular P' Q' ; hagamos P' P" = B P' y tracemos la perpen- 

 dicular P" Q" ; siguiendo así, llegaremos á un punto C, en que la 

 perpendicular C N no cortará á B A. 



En efecto, los ángulos del triángulo B Q P valen 2 R — a ; los del 

 triángulo igual Q P P' también valen 2 R — a ; luego los del trián- 

 gulo B Q P' valdrán 2 R — 2 a y los ángulos del triángulo rectángu- 

 lo B P' Q' valdrán menos que 2 R — 2 a, porque hay que añadir los 

 ángulos del triángulo Q P' Q' que valen menos que dos rectos, y 

 suprimir los dos rectos de los ángulos Q. 



Del mismo modo los ángulos del triángulo Q' P' P" valen menos 

 que 2 R — 2 a por ser igual al anterior, y los del triángulo B Q' P" 



