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valen menos que 2 R — 4 a, y con más razón los del triángulo rec- 

 tángulo B P" Q". 



Continuando asi, llegaremos á un triángulo que sus ángulos val- 

 gan menos que 2 R — 2 w a, tomando n bastante grande, la per- 

 pendicular á B C no cortará á B A, pues se tendría un triángulo 

 cuya suma de ángulos seria negativa. 



Si esta perpendicular es C N, que no corta á la B A, habrá una 

 T U que separa las secantes de las no secantes y ésta será la para- 

 lela ; pues trazando la T Z desviada y bajando de Z la perpendicu- 

 lar P" Q", que es secante, la recta desviada T Z, que ha entrado al 

 triángulo B Q" P", cortará á la B A, 



Cuando disminuye la distancia B T = ¿?^ el ángulo del paralelis- 

 mo ABC aumenta ; si d tiende á cero ese ángulo se acerca al rec- 

 to, y cuando d tiende al infinito, el ángulo de paralelismo se acerca 

 á cero. 



21. Teorema IX — En la Geometría no eiiclidiana, no puede 

 haber semejanza sin igualdad. 



Si los triángulos A B C y B A E tienen igual el ángulo en A, como 

 los ángulos del primero valen 2 R' — a y los del B C E valen 2 R — ¡3, 

 sumando y restando los dos rectos del punto C, los ángulos 

 del triángulo B A E valen 2 R— a — ¡3, y por consiguiente no pueden 

 ser equiángulos y la semejanza no existe. 



22. Teorema X — En la Geometría imaginaria se pueden 

 disminuir los tres ángulos de un triángulo indefinidamente , 

 aumentando los lados. 



Sea A C una recta y del punto D las paralelas D E y D F, trazan- 

 do las secantes D A y D C, se forma un triángulo ; pero acercando 

 las secantes á las paralelas, los ángulos de la base A y C disminu- 

 yen indefinidamente. 



Ahora bien, aumentando la distancia D B, el ángulo del parale- 

 lismo B D F y B D E puede disminuir hasta cero ; luego los tres 

 ángulos pueden decrecer indefinidamente. 



23. Otros teoremas. — Del mismo modo se pueden demostrar 

 los siguientes teoremas : 



i.° Cuando dos rectas paralelas se prolongan, su distancia va 

 disminuyendo hasta cero, de modo que presentan el carácter de 

 asíntotas. 



2° Dos rectas paralelas á una tercera son paralelas entre si. 



3." En un triángulo, las perpendiculares levantadas en el punto 



