medio de cada lado no se encuentran, ó se encuentran en un 

 mismo punto. 



4." Si dos de las perpendiculares anteriores son paralelas, tam- 

 bién lo es la tercera. 



5.° Si una circunferencia se divide en n partes iguales y se tra- 

 zan las tangentes, éstas se cortan y forman un polígono, cuando 

 el radio es pequeño; pero si el radio es bastante grande las tangen- 

 tes no se cortan. 



6° El ángulo externo de un triángulo tiene por limite dos rec- 

 tos, menos el doble del ángulo de paralelismo. 



Bastan estos ejemplos para tener una idea de esta Geometría; en 

 cuanto á la de Riemann, es suficiente considerar las demostracio- 

 nes comunes que se dan de los triángulos esféricos, si en lugar 

 de trazar curvas los indicásemos por líneas rectas. 



III 

 Deñniciones generales 



24. LÍNEAS. — Se llama linea de curvatura uniforme la que 

 coincidiendo dos cualesquiera de sus puntos, se pueden hacer 

 coincidir todos los demás : si la uniformidad es real^ se llama cir- 

 cunferencia; si es ideal, se denomina pseiido-circunferencia, si 

 la curvatura es nula, se tiene la línea recta. 



Por dos puntos pueden pasar muchísimas líneas de curvatura uni- 

 forme, las que se pueden dividir en grupos de igual curvatura ; si 

 ésta es real ó ideal, el grupo comprende infinidad de líneas, si es 

 nula, el grupo sólo abraza una sola. 



Los sistemas de igual curvatura se dividen á su vez en dos, 

 atendiendo á su propiedad métrica, uno de magnitud mayor y otro 

 menor; si la curvatura uniforme es real, todos los puntos son rea- 

 les, pero si es ideal ó nula hay siempre un punto en el infinito, y 

 todas las tres tienen un grupo en el infinito, que por consiguiente 

 les es común. 



Todas las líneas de curvatura uniforme son cerradas, tomadas 

 en su totalidad; la recta se cierra en un punto en el in- 

 finito. 



