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25- Superficies. — Cuando los dos sistemas de igual curvatura 

 uniforme, que pasan por dos puntos, se confunden, es decir, que 

 métricamente son iguales, porque las líneas están divididas por 

 mitad, todas ellas forman una superficie de curvatura uniforme, 

 es la que está constituida por líneas de igual uniformidad; si ésta 

 es real, la superficie se llama esfera; si es nula, se denomina plano; 

 si es ideal, se tendrá la superficie pseudo-esf erica. 



En este caso, por dos puntos de una superficie uniforme sólo 

 pasa una línea que tenga igual curvatura, que las líneas genera- 

 trices de la superficie ; pero si esos puntos dividen en dos partes 

 iguales á esas líneas, entonces pasan infinidad que están sobre 

 dicha superficie, porque son sus generatrices; si la curvatura 

 uniforme es real, existen sobre cada línea uniforme, muchísimos 

 pares de estos puntos ; si es nula, es preciso que uno de estos 

 puntos esté en el infinito y el otro puede ser cualquiera para que 

 la igualdad se verifique en las dos partes de la línea uniforme, lo 

 que equivale á decir, que por dos puntos de un plano sólo pasa 

 itna recta, y que por un solo punto pasan muchas, porque este 

 punto y el que está en el infinito, que cierra el plano, son los conju- 

 gados por donde pasan multitud de líneas de curvatura nula. 



Las superficies uniformes se llaman de curvatura positiva, si 

 las generatrices son de uniformidad real; nula, si las generatrices 

 son de esta clase, y curvatura negativa, si las generatrices tienen 

 uniformidad ideal. 



26. Volúmenes. — La distancia entre dos puntos de una su- 

 perficie de curvatura uniforme se mide por la generatriz que pasa 

 por aquellos puntos, porque es la más corta ; pero si los puntos 

 están en el espacio, la distancia se mide por la recta, esto es, por 

 la línea de curvatura nula, porque es la única en su grupo y ade- 

 más es la más corta de todas las líneas uniformes. 



Se llama radio la mitad de la distancia en el espacio de los dos 

 puntos por donde pasan todas las generatrices completas de una 

 superficie de curvatura uniforme ; este radio es real para la esfera, 

 infinito para el plano, ideal para lapseudo-esfera. 



Aumentando el radio de un modo continuo, se engendran su- 

 perficies vmiformes que constituyen el espacio ; si el radio es real 

 ó ideal, cada superficie sucesiva tiene curvatura positiva ó nega- 

 tiva distinta, desde cero hasta más ó menos infinito ; pero si el 

 radio es infinito, todas las superficies que engendran el espacio 

 son planas. 



