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resultando dos sistemas de cuatro triángulos iguales, y también 

 puede tener un triángulo tres ángulos rectos, trirectdngiilo, en 

 cuyo caso todos los ocho triángulos son iguales. 



De todo esto carece la Geometría plana por tener un polo en el 

 infinito ; allá está el triángulo polar, lo mismo que un ángulo ó un 

 lado de los otros seis triángulos, y por valer precisamente los tres 

 ángulos dos rectos no hay birectángulo, ni trirectángulo ; ni menos 

 dos ó tres ángulos obtusos, como sucede en la esfera, donde existen 

 todos los casos posibles. 



La fórmula para los ángulos apreciados en grados, es : 



T 2R 



A + B + C — 2R = — . — 



T.° Si el área del triángulo T = 2 ir r^ , mitad de la esfera: 



A-f-B-fC — 2R = 4R, como este es un límite, resulta que 

 los ángulos de un triángulo no pasan de seis rectos. 2." Si el trián- 

 gulo T = TT r2 , cuarta de la esfera: A + B + C — 2R=2R, es 

 otro límite para la pseu.do-esfera, para que la suma no sea negativa, 

 los tres ángulos llegan á ser nulos. 3.° Si el triángulo T = i ti r^ , 

 octava de la esfera, A + B + C — 2R = R, la suma de los án- 

 gulos en la Geometría imaginaria valen un recto y es imposible la 

 existencia de los triángulos rectángulos, que sólo existen para 

 triángulos pequeños. 



31, Igualdad de triángulos. — En la igualdad de triángulos 

 se tienen cuatro casos: 



I." Cuando son iguales respectivamente los tres lados de dos 

 triángulos ; 2° Cuando lo son dos lados y el ángvilo comprendido; 

 3.° Cuando se tiene un lado y los dos ángulos adyacentes; y 4." 

 finalmente, cuando son iguales los tres ángulos respectivamente ; 

 este último caso se deduce del triángulo suplementario, que se 

 forma trazando círculos máximos, cuyos polos son los vértices; sus 

 ángulos son suplementos de los lados y recíprocamente. 



La Geometría plana carece del cuarto caso, que se transforma 

 en la teoría de la semejanza, que no admite la esférica ni la 

 pseudo-esférica, sino en superficies distintas de la misma clase. 



La Geometría ideal, también tiene su particularidad ; como los 

 tres ángulos valen menos de dos rectos, pueden disminuir indefi- 

 nidamente los tres, lo que no sucede en las otras dos geometrías ; 

 pero en la esfera pueden hacerlo los tres ángulos exteriores. 



Si en la misma esfera no hay semejanza sin igualdad, puede 



