— 93 - 



haber ésta sin ser posible la superposición, constituyendo la teoría 

 de la simetría, cuando dos triángulos están á distintos lados de 

 una linea de curvatura uniforme, formando con ésta los ángulos 

 iguales, porque al voltear, queda lo cóncavo ó bien lo convexo 

 enfrente, lo que no sucede en el plano por no existir diferencia en 

 la forma de las caras. 



Por lo demás, es común para las tres geometrías, la relación 

 entre lados y ángulos, oponiéndose los mayores á los menores de 

 esos elementos ; lo mismo que la igualdad de dos ó tres lados 

 arrastra la de los ángulos opuestos y al contrario. 



32. Paralelismo. — Pasemos al paralelismo, considerando el 

 triángulo rectángulo esférico, siendo los catetos las lineas de cur- 

 vatura uniforme h, c, se tiene por la Trigonometría esférica: 



tang - 



tang. B = 



sen 



siendo B el ángulo del paralelismo ; cuando h sobre r varía de cero 

 á un cuadrante, B cambia de o" á 90" ; cuando b sobre r varía de 

 un cuadrante á dos, B también cambia de go° á 180° ; luego B ha 

 formado todos los ángulos posibles y la hipotenusa a siempre ha 

 cortado al cateto h ; así no existen paralelas en la Geometría 

 esférica, porque dos líneas de curvatura uniforme ó igual siempre 

 se cortan en dos puntos. 



Cuando r es infinito, los dos términos del quebrado son nulos, 

 y por la teoría infinitesimal podemos reemplazar esos infinita- 

 mente pequeños por otros, que son los arcos, y suprimiendo en 

 ambos términos la r : 



b 

 tang B = -. 



Fórmula de la Trigonometría plana, cuando b es infinita, B es 

 recta, cualquiera que sea la distancia c, el ángulo del paralelismo 

 es recto y sólo hay nna paralela por un punto en la Geometría 

 plana. 



Cuando /' es ideal, tendremos por la teoría exponencial, por 

 las fórmulas de Euler : 



