_2b 



bii— e"" c iÍt ~"7 ] 



I +e ' 

 sustituyendo en el quebrado, simplificando y haciendo b infinita, 



_2b 



2 I — e '' ^2 

 tang. B= — -^ -^^ tang. B= -^ -^ , 



e^-e ' I +e ' e^-e ' 



de manera, que el ángulo B es agudo cuando las líneas a, bj son 

 paralelas y depende del valor de c, cuando éste tiende al infinito, 

 B disminuye hacia o" y cuando c tiende á cero, B marcha ha- 

 cia 90°. Siendo B generalmente agudo, toda línea que forme un 

 ángulo mayor, será paralela ; luego existen muchas paralelas 

 por un punto en la Geometría pseudo-esf erica. 



33. Polos. — Si la Geometría esférica de dos dimensiones 

 carece de la teoría de las paralelas con líneas de igual curvatura, 

 tiene en su lugar la teoría de los polos, que son los puntos equi- 

 distantes de la línea de curvatura uniforme, de donde se pueden 

 bajar muchas perpendiculares ; dos perpendiculares á una tercera 

 se cortan en los polos, la línea uniforme que pasa por los polos 

 tiene éstos sobre la polar de aquéllos ; si los polos se mueven 

 sobre una línea de curvatura uniforme, las polares respectivas se 

 cortan en los polos de aquélla. 



En la Geometría plana, los polos de una recta están en el infi- 

 nito, y todo punto del plano tiene por polar la recta del infinito. 

 En la Geometría pseudo-esférica los polos son reales, porque la 

 circunferencia de curvatura mayor paralela á una línea generatriz 

 tiene por radio : 



b 



r= r. sen. — 



r 



siendo b la distancia al polo ; cuando ;' es infinita, reemplazando 

 el infinitamente pequeño y simplificando resulta : r' = b circun- 

 ferencias reales que existen en el plano. Cuando r es ideal, se 

 tiene para las secciones, por el cálculo exponencial: 



b 



l(e-^-e--). 



