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34- Polígonos. — Hemos dicho que tres líneas de curvatura 

 uniforme de la esfera, se cortan en seis puntos, estando cuatro de 

 ellos en cada linea ; si fuesen cuatro las líneas de curvatura 

 uniforme, habría doce puntos de intersección, habiendo seis de 

 éstos en cada generatriz ; en general, n líneas se cortan en n 

 (n — I ) puntos, conteniendo cada generatriz 2 (n — i ), En el 

 plano y en la pseudo-esfera se reducen á la mitad, por estar una 

 intersección en el infinito. He allí la teoría de los polígonos 

 completos. 



Si un punto de simple intersección se confunde, necesariamente 

 lo acompañan 2 I7i, siendo ni el número de líneas que pasan ya p(jr 

 el otro punto confundido ; en el plano y pseudo-esfera es la mitad. 



En la Geometría general de dos dimensiones, existen polígo- 

 nos polares, suplementarios y simétricos, desde que se pueden 

 descomponer en triángulos por diagonales ; pero no existen polí- 

 gonos semejantes ni figuras de lados paralelos, como el trape- 

 cio, paralelógramo, exágono regular, etc., que tienen uno, dos ó 

 más pares de polos conjugados en el infinito, en la Geometría 

 plana y en la ideal. 



Los ángulos tienen por valor : 



Siendo S, la suma de los ángulos; n, el número de lados; R, valor 

 de un ángulo recto; P, área del polígono; r, radio de la esfera. 



S + C = 27rR + ? 



1-2 



C es la suma de los ángulos centrales ó externos, lo que se dedu- 

 ce del número de diagonales que es \ n (n — 3 ), siendo en cada 

 vértice n — 3. Como el número de triángulos es // — 2, las con- 

 diciones que determinan un polígono son zn — 3. 



En la Geometría general se tiene que la suma de los ángulos 

 de un polígono es mayor que tantas veces dos rectos, como 

 lados tiene el polígono menos dos ; en la Geometría plana es 

 igual y en la Geometría ideal es menor, de manera que en esta 

 última debe ser pequeño P, es decir, el polígono, para que sea 

 posible su existencia. 



35. Figuras suplementarias. — Para el triángulo suplementario 

 se tienen los lados por la fórmula : 



