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Transformando 



eos a = eos b eos e, 



en suma da 



eos a = I I eos ( b + c ) + eos ( b — e ) j 



y eomo el método exponencial da 



, r xi I — xi ^ 

 eos x = 5Ve -f-e j 



se tiene, poniendo por x la a, b, c, la fórmula 



a, — a W b + c, b — c, — b — Cj^c — ta\ 

 e +e =He +e +e +e )■ 



39. Valor de la hipotenusa. — Comparando las tres trigono- 

 metrías, reemplacemos en la fórmula : 



eos a = I eos ( b + c ) + i eos ( b — c ) 



por sus desarrollos en serie, y despejando «2 pQj- el método de 

 retroceso de series de Newton, resulta : 



b2 C2 b2 c2 ( b2 + C2 ) 



3 r2 45 r* 



Cuando r es infinito, queda el teorema ya citado ; cuando r es 

 ideal, el segundo miembro es positivo ; luego : el cuadrado de la 

 hipotenusa es igual á la suma de los cuadrados de los catetos 

 en la trigonometría plana, es menor en la esférica y mayor en 

 la trigonometría ideal. 



El último término de la fórmula general, reemplazando el pro- 

 ducto de senos por la suma de cosenos : 



j I eos ( b — e ) — \ eos ( b -j- c ) | , eos A. 

 Haciendo igual desarrollo, resulta aproximadamente 



í ^ ,bc(b2 + e2)| 



— 2 b c + ^— — '-1 , eos A. 



f o r^ 1 



