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por suplementarios los cuadriláteros irregulares, regulares, circuns- 

 criptibles y rectiláteros. 



43. Valor numérico de la unidad. — El triángulo trirectán- 

 o-ulo es la octava parte de la esfera que tiene por área cuatro circu- 

 ios máximos; luego, U — 1' 5 7 o 8 r^, que sirve para reducir las 

 fórmulas anteriores en medidas cuadradas; como en la Geometría 

 ideal es negativo r^, basta cambiar el signo al nvimerador del se- 

 o-undo miembro; en la geometría plana los ángulos solos no bastan. 



44. Teoremas sobre el área de los triángulos, — Tomemos 

 la fórmula T=A + B + C — 2R, que se llama el exceso esférico, 

 su mitad será : i T = | (A + B) — (R — i C), el seno y el coseno 

 serán sen | T = sen I (A + B). sen i C — eos H^ + B). eos \ C 

 eos I T = eos |(A + B). sen i C + sen | (A + B). eos 1 C y re- 

 cordando las fórmulas de Delambre : 



sen \ (A + B) _ eos i (a — b) eos I (A + B) _ eos |(a + b) 

 eos I C eos I c sen I C eos | c 



se obtiene fácilmente: 



sen I b. sen ^ a 



sen l,¡-= = — . sen C 



eos \ c 



eos I b. eos I a + sen I, b sen I a. eos C . 



• eos ^ T = ■ — '■ —^ ^ 



eos \ c 



La primera sirve para determinar el área de los triángulos recti- 

 líneos, usando los infinitamente pequeños. En la segunda se puede 

 simplificar, llamando m la línea que una la mitad de los lados b, a 

 por la fórmula fundamental de la Trigonometría esférica, se tiene : 

 eos m = eos \ T. eos \ c ; luego : todos los triángulos esféricos 

 que tienen igual área é igual base, el arco que une los puntos 

 medios de los otros dos lados es igual. 



Si dividimos las dos fórmulas y se simplifica, se tiene la fórmula 

 en tangentes: 



1 rr. tang i a. tang I b. sen C 



tang I T = 



I + tang i a. tang \ b. eos C 



podemos eliminar el ángulo C, usando la fórmula: eos a = eos a. 

 eos b + sen a. sen b. eos C, obteniéndose : 



