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72. Dos CIRCUNFERENCIAS IGUALES.— En segundo lugar dos circun- 

 ferencias iguales y paralelas, se puede concebir muchos cilindros 

 cuya superficie lateral sea engendrada por líneas de una misma cur- 

 vatura uniforme y las bases formadas por superficies de igual cur- 

 vatura, que pudiendo las tres ser cóncavas ó convexas resultan 

 seis, que se reducen á uno para lineas de curvatura nula, que co- 

 rresponde á la Geometría plana. 



73. Dos CIRCUNFERENCIAS DESIGUALES.— En tercer lugar dos 

 circunferencias desiguales y paralelas, que dan los conos trunca- 

 dos, que pueden haber seis distintos, si las generatrices son líneas 

 de curvatura uniforme, redviciéndose á uno, si la curvatura 

 es nula. Este es el caso general, que exceptuando á los casos en 

 que entran ángulos, ó sea cviatro ó más puntos, puede compren- 

 der el actual á todos los anteriores. 



Conclusión — Basta esta ligera exposición, para comprender los 

 grandes desarrollos á que se prestan las teorías, que se han indica- 

 do de una manera lo más lacónico posible y suprimiendo muchas 

 otras, que harían mucho más extenso el presente tema; pero lo 

 que se ha dicho es suficiente para apreciar la importancia de la 

 Geometría de la esfera, de la que se deduce inmediatamente 

 todos los teoremas de la Geometría plana y de Euclides; asi 

 como los de la Geometría imaginaria ó no euclidiana. 



Sr. Balbín. — La memoria del catedrático de la Universidad 

 de Lima, Doctor Federico Villarreal, que constituye la orden del día, 

 versa sobre las Geometrías no euclideanas, es decir, sobre esas 

 geometrías que no se fundan en el postulado V de Euclides, cuya 

 consecuencia inmediata es, que por im punto sólo se puede tra- 

 zar tina paralela á una recta. 



La primera, en el orden de los tiempos, es la Geometría del ruso 

 Lobatchefski {1829^1856), en la cual se admite que por un 

 punto se pueden trazar muchas paralelas á una recta dada. Las 

 consecuencias que dimanan de esta hipótesis, ó más bien postulado, 

 son enteramente contrarias á las de la Geometría ordinaria ó eu- 

 clídea ; así, los tres ángulos de un triángulo valen menos de dos 

 rectos ; las mediatrices de los lados de un triángulo pueden ser 

 paralelas, y muchas otras proposiciones, que aunque distintas de 

 las ordinarias, no tienen contradicción sin embargo entre sí y se 

 deducen lógicamente del postulado admitido. 



A la geometría que acabo de indicar, siguió la del alemán Rie- 



