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mann, cuya idea fundamental fué esbozada en 1854, y publicada 

 con todos sus desarrollos en 18Ó7. Riemann tomó como postulado, 

 que por un punto no se puede trasar ninguna paralela á una 

 recta dada. He ahí una geometría distinta de las otras dos, cuyas 

 consecuencias son también diferentes ; así, los tres ángulos de un 

 triángulo valen más de dos rectos ; existen puntos de que se pue- 

 den bajar muchas perpendiculares á una recta dada, etc. 



Además del postulado V, la Geometría de; Euclides se funda en 

 el postulado VI, que dice : dos rectas no encierran espacio. De 

 ahí, pues, se desprende: i." que en la Geometría de Lobatchefski, 

 no se admite el postulado V, pero sí el VI, que subsiste necesaria- 

 mente, porque su rechazo implicaría la existencia del postulado 

 V ; 2." que en la Geometría de Riemann no se admite el postulado 

 VI, pudiendo deducirse como consecuencia de proposiciones an- 

 teriores. 



Las tres geometrías indicadas, la euclideana, la de Lobatchefski 

 y la de Riemann, tienen una multitvid de proposiciones comunes, y 

 son precisamente las que no depeiiden de los postulados enuncia- 

 dos, las cuales constituyen el cuerpo de doctrina actualmente de- 

 nominado Metageonietria ó Geometría general. 



La existencia de estos tres sistemas geométricos distintos, tiene 

 una importancia transcendental bajo el punto de vista filosófico, 

 pues ella implica la destrucción de una de las bases fundamentales 

 de la « Crítica de la razón pura », de Kant, probando la inanidad 

 de lo que se ha dado en llamar iuiperativo geométrico. 



La Geometría de Riemann ha inspirado la mayor parte de las in- 

 vestigaciones recientes, entre las cuales merecen citarse las de Bel- 

 trami, Helmholtz, Houel, Lexell, Fuss, Steiner y Gudermann. y 

 de ellas resulta, con todo el rigor de la lógica, la exphcacióu, 

 y por lo tanto, la interpretación de esa geometría, tan distinta de la 

 ordinaria. Riemann observó desde el principio, que sus teoremas 

 referidos á las rectas, son los mismos que se conocían para los 

 círculos máximos de una esfera, y partiendo de esa base los geó- 

 metras que he citado, llegaron, después de un trabajo de medio si- 

 glo, á la interpretación de la Geometría de Riemann, á saber : 

 « que trazando rectas sobre un plano, los razonamientos versaban 

 realmente sobre Geometría esférica, representando dichas rectas 

 círculos máximos, y por lo tanto no estaba aquella geometría en 

 contradicción con la Geometría de Euclides, en que las rectas re- 

 presentan líneas distintas de los círculos máximos, ó si se quiere, 



