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estos mismos círculos en el caso particular de que su radio es in- 

 finito ». 



En cuanto á la interpretación de la Geometría de Lobatcliefski, 

 los trabajos del matemático italiano Beltrami han sido concluyen- 

 tes, llegando á este resultado universalmente aceptado, que 

 « cuando el radio de una esfera es imaginario y por lo mismo su 

 cuadrado negativo, aparece la superficie Wanvcida pseiído-esf era, y 

 las figuras trazadas sobre ésta dan lugar á la Geometría de Lobat- 

 chefski, » 



Además de las geometrías cuya exposición acabo de hacer á 

 largos rasgos, hay otras no menos interesantes, que el Doctor Villa- 

 rreal menciona en el trabajo que discutimos, con erudición y com- 

 pleto dominio del asunto, á saber : i.° la geometría fundada en el 

 postulado de perpendicularidad ; y 2° geometría de las superfi- 

 cies ; pero creo excusado tratar de ellas, ni siquiera someramente, 

 porque lo que he manifestado, quizás abusando de vuestra pa- 

 ciencia, me parece más que suficiente para hacer comprender el 

 alcance é importancia del trabajo del matemático peruano. Sin 

 embargo, debo agregar que su trabajo, que él llama modestamente 

 una exposición didáctica, es dignu de consideración por más de 

 un concepto y está llamado á divulgar en Hispano-América, esas 

 bellas é importantes teorías. Además, está escrito con todo el ri- 

 gorismo matemático, claro y preciso, y en un estilo científico inta- 

 chable. 



En virtud de estas consideraciones, me adhiero á la conclusión 

 formulada por el autor, á saber : « que de la Geometría de la es- 

 fera se deduce inmediatamente todos los teoremas de la Geometría 

 plana ó de Euclides, así como las de la Geometría imaginaria ó no 

 euclideana » ; y pido á la Asamblea se digne prestarle su aproba- 

 ción, tanto más cuanto que esa conclusión es la aceptada univer- 

 salmente por los geómetras modernos. 



