16 EIN KRITERIUM FÜR DIE REELLEN ALGEBRAISCHEN ZAHLEN 
Um dem Gang der Überlegungen in Nr. 5 zu folgen hätten wir 
dann zu zeigen, dass die Beziehungen 
(14 a) ea 
gültig seien, und dass in denselben Ungleichheit unendlich oft 
eintrete. | 
In dem speziellen Falle a=2 (und natürlich auch für 2 =1) lässt 
sich dieser Beweis thatsächlich führen; schon für 2=3 sind aber 
die Beziehungen (14a) nicht mehr gemeingültig, was aus folgendem 
Beispiel hervorgeht. 
Eine Wurzel der Gleichung 2m?+2o%—2o—1=0 ist annähernd 
w = 0,8547; wir erhalten dann | | 
u =1,0000, u, =0,8547, ut, —0,7305, 1) —0,6243 
Un 1,002 „U, 42,0, 02 
und ferner 
u, =0,1453, u), —0,8547, u, =0,7305, u, =0,6248 
(1) (1) (1) (1) 
Ufs UNSURE 
Folglich haben wir Me 2, Ms und mithin M?< M,. 
Es muss indessen ausdrücklich hervorgehoben werden, dass der 
betrachtete Algorithmus nichtsdestoweniger abbricht. Falls wir die 
Rechnungen ausführen, erhalten wir nämlich us = u — 
Aus dem Obigen können wir keine bestimmten Schlüsse ziehen, 
ob man mit Hilfe des Brunschen Algorithmus eine Lösung des 
Problems von den arithmetischen Kriterien für die reellen algebrai- 
schen Zahlen n:ten Grades erhalten kann oder nicht. Wenn man 
aber den Brunschen Algorithmus durch den unsrigen allgemeineren 
Algorithmus ersetzt, ergibt sich — wie wir gesehen haben — eir 
derartiges Kriterium. ! 
Helsingfors, den 2. April 1920. 
! Für geschichtliche Angaben über die frühere Behandlung des Problems verweisen 
wir auf die Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen (Teubner, 1892) vor 
Paul Bachmann und auf die Dissertation des Verfassers: Zur Theorie der arith- 
metischen Kriterien für die reellen algebraischen Zahlen, Helsingfors, 1917. 
