EIN KRITERIUM FÜR DIE REELLEN ALGEBRAISCHEN ZAHLEN 15 
Aus dem Wertesystem v,5v,>-:>Un bildet Brun nur ein neues 
System, welches erhalten wird, wenn man den Wert v, durch den 
Wert v,—v, ersetzt, während die Werte v,,V,,°:,Un unverändert 
gelassen werden. 
Auf die Potenzen 1,w,--,w" angewendet gibt also der Brun- 
sche Algorithmus die Systemreihe, die wir oben (vgl. Nr. 3) mit 
a 
i 0,1.2:--) bezeichnet haben, woraus hervorgeht, dass die 
Überlegungen in Nr. 3 ihre Gültigkeit beibehalten, auch falls wir 
statt des unsrigen allgemeinen Algorithmus den einfacheren Brun- 
schen betrachten. M. a. W. | 
Wenn der Brunsche Algorithmus, auf die Potenzen 1,w, --,w" an- 
gewendet, abbricht, indem ein System so) mit zwei gleichen Werten 
erhalten wird, ist w eine algebraische Zahl höchstens vom n:ten 
Grade. 
Wir wissen, dass der umgekehrte Satz für n=1 gültig ist, denn 
wie unser Algorithmus ist der Brunsche dann mit dem Euklidi- 
schen Algorithmus identisch. Es lässt sich ferner zeigen,! dass dem 
so ist ebenfalls für 2=2. In dem allgemeinen Falle aber, wo n 
eine beliebige positive ganze Zahl angibt, stellen sich Schwierig- 
keiten ein. 
Versuchen wir nämlich denselben Weg einzuschlagen, der in Nr. 5 
zum Ziele führte. 
Nach unserem Hilfssatz (vgl. Nr. 4) gilt zwischen den Werten 
des Systems st) die Beziehung 
ONO) 
> U, ROS 0 
4=0 
mit gewissen eindeutig definierten ganzzahligen Koeffizienten um) 
es sei m“) der grösste von den Beträgen um) 
* Auf diese Frage gehen wir nicht näher ein, weil Brun in einer noch nicht 
veröffentlichten Fortsetzung der oben zitierten Abhandlung ein damit äquivalentes 
Resultat erreicht haben dürfte. (Briefliche Mitteilung an den Verf.) 
