14 EIN KRITERIUM FÜR DIE REELLEN ALGEBRAISCHEN ZAHLEN 
bleibt, wenn vr =0 ist. Nach a) trifft der erstere Fall bei unend- 
lich vielen von den betrachteten Operationen ein, und wenn es einen 
Index der genannten Art gäbe, hätten wir also eine unendliche 
Reihe von abnehmenden positiven ganzen Zahlen 2,, was widersin- 
nig ist. 
c) Es gibt keine Zahl v' derart, dass vy) =9 fiir jeden Index 
v>v ist. 
Jedes Mal, wenn VO ist, nimmt die Summe ay von allen 
negativen Koeilizienten ul im algebraischen Sinne zu, während 
diese Summe unverändert bleibt, wenn V0 ist. Nach a) trifft 
der erstere Fall bei unendlich vielen von den betrachteten Operatio- 
nen ein, und wenn es einen Index der genannten Art gabe, hatten 
wir also eine unendliche Reihe von zunehmenden negativen ganzen 
Zahlen 3 was widersinnig ist. — 
Nach b) und c) trifft bei der Herleitung der Systeme 
ot alg Ds se + 2) nd 
sowohl der Fall 1:0 als der Fall 2:0 unendlich oft ein, und es gibt 
daher eine Zahl wu, für welche die Ungleichung (16) giltig ist. 
Die Beziehungen (15) und (16) lassen sich aber nicht vereinbaren. 
Ein Widerspruch wird mithin erhalten, wenn wir annehmen, dass der 
betrachtete Algorithmus unendlich ausfallt, und er muss folglich nach 
einer endlichen Anzahl Operationen abbrechen. 
Hiermit ist der in Nr. 2 formulierte Satz vollständig bewiesen, 
und die Richtigkeit unseres Kriteriums ftir die reellen algebraischen 
Zahlen n:ten Grades ist daher dargelegt worden. | 
6. Eine wesentlich einfachere Verallgemeinerung des Euklidischen 
Algorithmus als die im Vorhergehenden betrachtete wurde neulich 
von Viggo Brun! angegeben. 
* En generalisation av kjedebroken | (avec un résumé en francais), Videnskaps- 
selskapets skrifter, I, Mat.-Nat. Klasse, 1919, N:o 6, Kristiania. 
