EIN KRITERIUM FÜR DIE REELLEN ALGEBRAISCHEN ZAHEEN 13 
wenigstens «-mal und der Fall 2:0 wenigstens ß-mal eingetreten 
ist, haben wir nach (18) 
(16) mi) sy +1) 
_ Eine Zahl a der genannten Art gibt es thatsächlich; denn wir 
können ohne Miihe folgendes beweisen. 
a) Es gibt keine Zahl v' derart, dass ve =0 für jeden Index 
v=v' ist. 
Es seien die Werte ul”) der Grösse nach geordnet 
>... 
Nach dem Bildungsgesetz des Algorithmus folgern wir mit Hilfe 
des Axioms von Archimedes, dass wir nach einer endlichen Anzahl 
Operationen ein System erhalten, in dem der Wert ul”) der grösste 
ist, und nach noch einer endlichen Anzahl Operationen ergibt sich 
(v') 
ein System, in dem der Wert v, > der grösste ist, u. s. w. Früher 
oder später müssen wir also ein System erhalten, in dem ein be- 
U 
liebiger von den Werten u“) der grösste ist. 
Einer von den Koeffizienten ur) — sei es a — ist sicher 
von Null verschieden. Aus der Annahme vo für jeden Index 
v=v' folgern wir uw = u. (v= v’) und daher oe atu (ve). 
Wenn wir den Algorithmus so weit treiben, dass ein System 
sen (”=v') erhalten wird, in dem der Wert waa? der 
grösste ist, haben wir also vr jus U 5 )+0 gegen unsere Annahme. 
1 
b) Es gibt keine Zahl v' derart, dass vi 20 fär jeden Index 
v>v' ist. 
Jedes Mal, wenn v) <0 ist, nimmt die Summe 2, von allen 
positiven Koeffizienten ur ab, während diese Summe unverändert 
