EIN KRITERIUM FUR DIE REELLEN ALGEBRAISCHEN ZAHLEN 7 
- Denn nach (4) haben wir unter der genannten Voraussetzung 
3 (ri, Pia ajo’ =0 
e=0 
und nach (5) ist diese Gleichung keine Identität. 
4. Umgekehrt nehmen wir nunmehr an, dass die ihrem Zahlen- 
wert nach gegebene reelle Grösse eine algebraische Zahl höchstens 
vom n.ten Grade ist, und wir wollen zeigen, dass der zum Betrag 
derselben gehörige allgemeine Algorithmus n:ter Ordnung abbricht. 
Unserer Annahme gemäss genügt der genannte Betrag w einer 
Gleichung 
(6) | Bothy a4 +gn@"=0 
mit ganzzahligen a 
Wenn wir &=U, si setzen, a sich diese Gleichung nach (1) in 
der Form 
RR 20 0 
(6y 5 0, 44-0 
schreiben; wenigstens - einer von den Koeffizienten Ut a ist hierbei 
positiv und wenigstens einer von denselben negativ, weil un et ist. 
(v) 
. Es gilt dann allgemein zwischen den Werten u, 3 
se 
eines beliebigen 
Systems 
(7) 2 U “ in = 
eine Beziehung 
mit ganzzahligen Koeffizienten, von denen wenigstens einer positiv 
und wenigstens einer negativ ist. 
Dass dem so ist, wollen wir sofort vermittels vollständiger Induk- 
tion beweisen. 
