4 EIN KRITERIUM FUR DIE REELLEN ALGEBRAISCHEN ZAHLEN 
2. Es sei w der Betrag einer reellen Grösse, die ihrem Zahlenwert 
nach gegeben ist; die Potenzen 
Py ie n 
\ 1, w, w?, „® 
sind dann n+1 bekannte positive reelle Werte. Wir wenden das 
oben angegebene Verfahren auf sie an und erhalten hierbei einen 
eindeutig definierten Algorithmus, den wir den zu w gehörigen all- 
gemeinen Algorithmus n:ter Ordnung nennen. 
In Nrr. 3, 4 und 5 werden wir beweisen, dass der zu w gehörige 
allgemeine Algorithmus n:ter Ordnung stets und nur dann abbricht, 
wenn w eine algebraische Zahl höchstens vom n:ten Grade ist. 
Diesem Satze gemäss besteht dann folgendes vollständige 
Kriterium für die reellen algebraischen Zahlen n:ten Grades. 
Eine reelle Grösse ist eine algebraische Zahl n:ten Grades (n>1) 
stets und nur, wenn der zum Betrag derselben gehörige allgemeine 
Algorithmus n:ter Ordnung abbricht, während der nämliche Algo- 
rithmus (n—1):ster Ordnung unendlich ausfällt. 
Speziell ist die genannte Grösse eine algebraische Zahl \:sten 
Grades (d. h. eine rationale Zahl) stets und nur, wenn der zum 
Betrag derselben gehörige allgemeine Algorithmus 1:ster Ordnung 
(der Euklidische Algorithmus) abbricht. 
3. Die bei unserem Rekursionsverfahren hervorgehenden Werte- 
systeme schreiben wir in folgender Weise auf. 
Zuoberst, in die O-te Reihe, schreiben wir das Ausgangssystem 
ae (4=0,1,--,72). Allgemein tragen wir in -die »:te Reihe (v=1) 
die n” Wertesysteme ein, die aus den n” + Systemen der (v„—1):sten 
Reihe hergeleitet wurden, und hierbei schreiben wir zuerst die n 
aus dem ersten System der vorigen Reihe hergeleiteten Systeme; 
dann folgen die z Systeme, die aus dem zweiten System der vorigen 
Reihe hergeleitet wurden, u. s. w. Die a Systeme jeder derartigen 
Gruppe werden schliesslich nach dem in Nr. 1 festgestellten Prinzip 
geordnet. 
