ÜBER DEN EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS 5 
Es lässt sich ohne Mühe zeigen, dass falls das System u,, v,, 
w, in der Kette K vorkommt, so ist dasselbe mit dem System (a) 
der Fall. ; 
Hierbei sind drei Möglichkeiten zu unterscheiden. 
1:o. Von den Werten UU, Op W, ist u, der grösste.. Dieser Fall 
kann nur für »=0 zutreffen. Wir haben dann u, >v,, u, >w,, so 
dass /,=m,==0; das System (a) ist mit dem System u,, v,, w, 
identisch und kommt mithin in der Kette K vor, w. z. b. w. 
2:0. Von den Werten U, V,, w,ist u, der mittlere. Es ist dann 
W, >, > %,; denn falls wir v, >u, >w, hätten, würde aus der 
letzteren von diesen Ungleichungen folgen, dass »=0 ware, d. h. 
u, wäre entweder der grösste oder der kleinste von den Werten 
U, V,, w,. Die Werte des Systems (a) sind daher 
N EN NS ile, 
weil ja !, =0 aus der Ungleichung u, >, hervorgeht. Dieses Werte- 
system kommt in der Kette X vor. Es ist nämlich w, der grösste 
von den Werten w,,v,,w,; das System u,,v,, w,—u, kommt mithin 
in der Kette X vor, womit unsere Behauptung im Falle m,=1 be- 
wiesen ist. Für m, >1 ist w,— u, der grösste von den Werten 
U, V,, W,—U,, WOTaus folgt, dass die Werte u, U, w,—2 u, ein 
System der Kette K bilden. Vermittels vollständiger Induktion lässt 
sich auf dieselbe Weise schliessen, dass allgemein das System U,» 
dv, W,—m, u, in der Kette X vorkommt, w. z. b. w. 
3:0. Von den Werten u,,v,, w, ist u, der kleinste. Wir subtra- 
hieren von dem grössten der Werte u,, v,, w, den Wert z,, von 
dem grössten Wert des so erhaltenen Systems subtrahieren wir wie- 
der den Wert u,, u. s. w. Dieses Verfahren gibt uns nach (l,+m —2) 
Operationen das System 
v,—l,—1)u,, w,—(m,—1)u,, U,» 
in welchem die beiden erstgeschriebenen Werte noch immer > u, 
sind. Der Wert z, von dem grösseren der beiden Werte v,—(/,—l)u 
v? 
