6 ÜBER DEN EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS 
w,—(m —1)u, subtrahiert, gibt ein System mit dem zweiten derselben 
als grösstem Wert. Wenn wir von diesem noch den Wert u, subtra- 
hieren, erhalten wir endlich das System (a), welches also in der Kette 
K vorkommt, w. z. b. w. 
Aus den obigen Erwägungen geht ferner folgendes hervor: das 
System (a) stammt sozusagen von dem System u,, v,, w, her, d.h. 
das System (a) ist eines von den Systemen, welche entweder direkt 
oder durch gewisse Zu en ale Systeme aus dem System U, 
v, w, hergeleitet wurden. Weil 5, a) a, ao") — (U, Ope a) = 
en wir mithin das Ergebnis gewonnen: 
Die Wertesysteme der Jacobi-Kette kommen sämtlich in derselker 
Unterkette der Kette K vor. 
2. Die Kette K wird periodisch genannt, falls es in derselben 
eine Unterkette gibt, welche zwei Systeme enthält, deren Werte pro- 
portional sind. 
Nach dem in Nr. 1 dargelegten fällt mithin die zu » gehörige 
allgemeine Kette X dann immer periodisch aus, wenn die zur frag- 
lichen Grösse w gehörige Jacobi-Kette einen periodischen Verlauf 
hat. Bezüglich aller Beispiele, für welche eine periodische Jacobi- 
Kette hergeleitet wurde, lässt sich daher sofort schliessen, dass auch 
die Kette X periodisch ist. 
Ferner wollen wir zeigen, dass falls die zu » gehörige allgemeine 
Kette (2:ter Ordnung) periodisch ausfällt, so ist w eine algebraische 
Zahl 3:ten Grades. 
Diejenige Unterkette, welche unserer Annahme gemäss zwei Sys- 
teme enthält, deren Werte proportional sind, bezeichnen wir mit 
Sy Se Se jai 
uud es seien u, dh @, die drei Werte, welche dem System Ay! ge- 
hören. 
Wir dürfen hierbei 
Uj=1, %,=o W=o 
a ae EN SE nee 
