8 ÜBER DEN EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS 
Wenn wir dieses Gleichungssystem auflösen und die Unterdeter- 
minanten mi A, BA, CA, Dr AB ec bezeichnen, 
erhalten wir [vgl. (2)] 
ae = Ay Oy Dae Ci 
(2) EO A, yt Bg Cty 
+w? =A,'«, SE BY ß, üb © 7,9 
in welchen Gleichungen die linken Glieder entweder alle drei positiv 
oder alle drei negativ sind. 
Nehmen wir jetzt an, es sei «,:8,:7, = ar: B,:7,; (1 >), So dass 
(3) ee 2 = 1-9; 0<0<1). 
a, Py Vr 
Nach (2)’ und (3) erhalten wir dann 
+9= A, en Dell: C,1,=a+bo+co? 
+ 90 = A, Cat Bein ya oo. 0 
+90= A, oe +B,P+C/y,=g+ho-+ios, 
wo a, b, c, d, e, f, g, h, i ganze Zahlen bedeuten, und nach Eli- 
mination von © gehen daher zwei kubische Gleichungen mit ganz- 
zahligen Koeffizienten hervor: 
cw + (b—f)w? + (a—e)w—d=0 
fo? + (e—i) w + (d—h)wo—g=0. 
Beide können nicht Identitäten sein. Denn in diesem Falle wäre 
c=d=f=-g=b=h=0; a=e=i=+@, d. h. © wäre eine ganze 
Zahl, was mit (3) in Widerspruch steht. 
Wir haben mithin bewiesen, dass w eine algebraische Zahl, höch- 
stens vom 3:ten Grade ist. Weil aber die betrachtete Kette — un-' 
serer Annahme gemäss — nicht abbricht, kann » keine algebraische 
Zahl 1:sten oder 2:ten Grades sein (vgl. die auf Seite 4 zitierte 
Abhandlung), woraus folgt, dass » tatsächlich eine kubische Irratio- 
nalzahl ist. 
