ÜBER DEN EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS 11 
_ Nach dem Bildungsgesetz der betrachteten Kette bleibt — mit 
Rücksicht auf das Axiom von Archimedes — kein Wert u, v oder 
ww fortwährend der kleinste, sondern es gibt sicher einen Index » 
derart, dass wenigstens einer von den Werten uw, su, 
als der kleinste von den Werten u, 
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weil bei der a jedes neuen Systems nur einer von den 
Werten z, N verändert wird, hat nur einer von den Werten 
00, Oy aie genannte Eigenschaft. Auf eine gewisse endliche 
Anzahl ajemanderfolgénder Ziffern 3 folgt also in jeder Kolonne 
die Ziffer 2. 
In ganz derselben Weise geht hervor, dass auf eine gewisse end- 
liche Anzahl aufeinanderfolgender Ziffern 2 in jeder Kolonne die 
Ziffer 1 folgt. 
Nach dem Bildungsgesetz der betrachteten Kette bleibt ferner 
— mit Rücksicht auf das Axiom von Archimedes — kein Wert u, 
v oder w fortwährend der grösste. Auf eine gewisse endliche An- 
zahl aufeinanderfolgender Ziffern 1 folgt also in jeder Kolonne die 
Ziffer 2 oder die Ziffer 3. 
Aus obigen Erwägungen stellt sich heraus, dass falls wir eine 
genügend grosse, jedoch endliche Anzahl von aufeinanderfolgenden 
Zeilen der Tabelle II betrachten, so kommt sowohl die Ziffer 1 als 
auch die Zijfer 2 in allen drei Kolonnen vor. 
Aus diesem ees lasst sich ferner schliessen, dass die Be- 
ziehungen 
: lim P,=lim Q,=lim R, = oo 
(5) DC MC v=& 
‚gelten. 
Um die Zahlen P,, Q,, R, sukzessiv aus den Ausgangswerten 
y? 
Po hee =O 
herzuleiten, haben wir nach den Untersuchungen in Nr. 3 auf fol- 
gende Weise zu verfahren: 
Der Koeffizient des mittleren von den Werten u,, v,, w, in der 
