12 ÜBER DEN EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS 
Gleichung 1=P,u,+Q,v,+R,w, wird durch die Summe von 
jener selben Zahl und dem Koeffizienten des grössten Wertes u,, 
v,, w, ersetzt, während die beiden übrigen von den Zahlen P,,, 
>» 
Q,, R, unverändert gelassen werden, hierbei gehen die Zahlen‘ 
Py ay Q,+v Ru 
Es sind mithin P,, Q,, R, ganze Zahlen =O; und von einem 
gewissen Index v an sind sie tatsächlich positiv. N 
Anfangs, die Zahlen P, sind sämtlich positiv, weil P, Vie 
Es bezeichne ferner v, die erste Zeile der Tabelle II, welche die 
Ziffer 1 in der ersten Kolonne aufweist. Dann sind 
a) die Zahlen Q, +7 Q, +2 --. sämtlich positiv, falls die Ziffern 
der Zeile v, in der Reihe 1, 2, 3 aufeinanderfolgen; 
b) die Zahlen Ry +v Ry +2 ... sämtlich positiv, falls die Zilfern 
der Zeile v, in der Reihe 1, 3, 2 aufeinanderfolgen. 
Und endlich: im Falle a) sind die Zahlen QL Qu +2 == 
lich positiv, wenn v, (w,>v,) die erste Zeile angibt, welche die Ziffer 
2 in der 3:ten Kolonne aufweist; im Falle b) sind die Zahlen Ry vp 
R,, 9, sämtlich positiv, wenn v,(¥,>¥,) die erste Zeile angibt, - 
welche die Ziffer 2 in der 2:ten Kolonne aufweist. 
Wir haben mithin 
Ds Q,; Rye für v>»,. 
hervor. 
sämt- 
Ferner bestimmen wir eine Zahl », derart, dass die Zeilen der 
Tabelle II vom (,;+1):sten bis zum v,:ten die Ziffer 2 in allen drei 
Kolonnen aufweisen; dann ist 
PQ. Re 2 dünn. 
Auf dieselbe Weise erhalten wir allgemein 
RN ORE Rez fiir v>vnıp 
womit die Beziehungen (5) als richtig erwiesen sind. 
