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que aplicó a fracciones de 27, teniendo en cuenta para sus 
límites que 
sen <0<tg0, 
También Van Ceulen tuvo la paciencia de llevar las 
bisecciones hasta obtener polfgonos de millones de lados 
para obtener x= can 15 decimales exactos. 
Huygens indicó el medio de estrechar los límites con las 
desigualdades 
3 sen 
| 1 
En 0 ( 
> cos 2 9<3 Lsen + tg (1), 
que si no se demuestran claramente, se justifican haciendo 
ver que las funciones formadas por las diferencias de dos 
en dos, como : 
3 sen 
A AS 
da, para su derivada o coeficiente diferencial 
(1 — cos 9)? 
PO= Loy" 
constantemente positivo que indica que aquella función es 
creciente, y sucede lo propio a la otra 
F() => (25en8J-tg0) 6. 
De ello se aprovechó Snellius, que pudo llegar a 7 deci- 
males exactos sin pasar de un polígono de 96 lados par- 
tiendo del exágono, con lo cual Arquímedes sólo obtuvo 
dos exactos. 
Ya Grijenberger, aprovechando trabajos de sus anteceso 
res, llegó a tener = con 39 decimales exactos. 
Arquímedes, al parecer, esquivó el empleo de las áreas 
de los polígonos en sus investigaciones. 
Precisamente en ellas se apoyó Gregory en el siglo XVII 
