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Una sola demostración comprende a los dos primeros y 
a otros análogos que pueden ser cifrados en ecuaciones de 
tercer grado. 
Petersen, Capelli, Klein y otros lo han hecho patente, 
fundados en la condición indispensable, en general, que 
exige una ecuación algébrica irreductible, para que pueda 
ser resuelta por operaciones racionales y radicales de S£- 
gundo grado solamente, y es que su exponente o su grado 
sea una potencia entera de 2. 
Tiene algo de intuitiva esa verdad, sin más que fijarse en 
que con tal condición, al valor x, incógnita de la ecuación, 
se le podrá dar una forma tal que sólo dependa de canti- 
dades racionales y radicales de segundo orden, aunque 
estén superpuestos y se hallen en numerador y denomina- 
dor. Cabe, sin embargo, la duda de si resultará que la 
incógnita, en esas condiciones, puede pertenecer a otra 
ecuación de grado mayor o menor que el indicado. 
Desde luego se comprende que se podrán hacer desapa- 
recer los radicales del denominador multiplicando ambos 
términos por los factores que convengan. En esa nueva 
forma, sin radicales ya en el denominador, también se com- 
prende que podrán separarse todos los radicales de los 
diversos órdenes, entendiendo por tales el número de radi- 
cales superpuestos. Así la fórmula tendrá todos sus radica- 
les independientes, es decir, que no habrá dos que estén 
ligados por relación alguna especial. 
Entonces si ese valor de x se sustituye en la ecuación 
f(x) =0 de que salió, resultará una expresión tal que para 
reducirse a cero será preciso que sean cero todos los coefi- 
cientes de los radicales. La anulación de f(x), por corssiguien- 
te, se verificará cualquiera que sea el signo de cada uno de 
los radicales. Luego si en esa función existen /2 radicales 
cuadrados independientes, será satisfecha por los 2” valo- 
res que resulten de combinar dos a dos de todos los modos 
posibles los signos más, menos de esos mismos radicales. 
