BEITRAG ZUR THEORIE DER REGULÄREN VIELECKE. 3 



geschriebenen regulären Vielecke einen solchen allgemeinen Satz auf- 

 zustellen, der ohne Ausnahme gütig wäre und dem sich die Sätze, 

 welche durch die Relationen (1), (2), (3) gegeben sind, als spezielle 

 Fälle unterordnen ivüräen? 



In dieser Note wird gezeigt , daß eine solche Verallgemeine- 

 rung sowohl für die oben angeführten Sätze, als auch für andere 

 Sätze in der Tat möglich ist. 



Wird der Kreisumfang durch die Punkte 



0,1,2,...,»-1 



in n gleiche Teile zerlegt, so bestimmen diese Punkte, wie aus 

 der elementaren Geometrie bekannt, nicht nur ein, sondern mehrere 



reguläre Vielecke, deren Anzahl gleich -~-^- ist, vorausgesetzt daß 



unter einem regulären Vielecke ein solches verstanden wird, dessen 

 Seiten und Wiukel gleich sind. (So wird z. B. in Fig. 4 der Kreisum- 

 fang durch die Punkte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 in 7 gleiche Teile geteilt 



und die erzeugten ^-~- = 3 regulären Siebenecke sind: 



12345 6, 2 46135, 0362514.) 



Die Sehne Oft bildet nämlich die Seite eines regulären Vieleckes, 

 sobald die Zahl k relativ prim zu n ist, da jedoch die Sehnen 0k 

 und On — k dasselbe Vieleck erzeugen, ist deren Anzahl gleich -^-^- 

 In der Reihe dieser Vielecke ist 0, 1, 2, . . ., (n — 1) ein gewöhn- 

 liches reguläres Vieleck, alle übrigen 0k (2 Je), . . ., (n — 1)Ä: sind 

 reguläre Sternvielecke. Die Fläche eines jeden Sternvieleckes be- 

 steht aus mehreren Zellen und zu jeder Zelle gehört nach einer be- 

 kannten Regel von Jacobi ein Zahlenkoeffizient. Die innersten 

 Zellen (in Fig. 4 einfach bezw. doppelt schraffiert), welche so- 

 zusagen den Kern des zugehörigen Sternvieleckes bilden, besitzen 

 die größten JACOBischen Koeffizienten. Der ebenerwähnte Kern 

 ist nichts anderes als ein umgeschriebenes reguläres «-Eck, dessen 

 Kreis konzentrisch mit dem ursprünglichen ist und welches die 

 Sehne k zur Tangente hat. 



Wenn wir nun verabreden, daß die Fläche je eines Stern viel- 



* (p(n) ist die Anzahl derjenigen Zahlen 1,2, . . ., n — 1, welche relativ 

 prim zu n sind. 



