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EIN NEÜEK BEWEIS EINES EISENSTEIN' SCHEN 



SATZES. 



Von Dr. JOSEF SUTÄK, Mitglied des Piaristen-Ordens, 



PROFESSOR AM KARISTEN-GTMNASIUM ZU BUDAPEST. 



Vorgelegt der Akademie in der Sitzung vom 19. Juni 1893 von o. M. Julius König. 



Aus «Mathematikai es Termeszettudomanyi Ertesitö» (Mathematischer und Naturwissenschaftlicher 

 Anzeiger der Akademie) Band XI. pp. 362 — 369. 



I. Beweis des Satzes. 



Aus den Untersuchungen von Cauchy, Puiseux und Weier- 

 strass ist bekannt, dass das durch die Gleichung 



f(x,y) = 



definirte y eine analytische Function von x ist, und in der Umge- 

 bung einer Stelle (x), die weder Verzweigungstelle, noch Null- 

 stelle des bei der höchsten Potenz von y stehenden Factors ist, 

 durch eine convergente Potenzreihe darstellbar ist. Solche Func- 

 tionen nennen wir analytische Functionen. 



Es wird jedoch gefragt, wenn eine Potenzreihe gegeben ist,, 

 wie kann man aus deren Natur erkennen, dass die Potenzreihe 

 eine algebraische, oder eine transcendente Function repräsentirt ? 

 d. h. : aus dem Zusammenhang ihrer Coefficienten zu entscheiden, 

 ob einer Potenzreihe genügt sei, oder nicht. 



Die Auflösung einer solchen Aufgabe war auch schon vor 

 Euler bekannt, was aus dem an Goldbach geschriebenen Briefe 

 erhellt (1771 Dec. 4.), in welchem er andeutet, dass in der Ent- 

 wickelung von f/^l — an 2 die Coefficienten von a ganze Zahlen sind. 



Im Jahre 1852 * erschien von Eisenstein ohne Beweis der 

 folgende Satz : Eine Potenzreihe mit rationalen Coefficienten 



* Monatsberichte der Berliner Academie, Juli 1852. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XET. 



