a JOSEF SUTAK. 



y= 2c n X n = ^(x) 

 n=0 



kann nur dann einer algebraischen Gleichung, deren Coefficienten 

 ganze Zahlen sind, genügen, wenn eine solche ganze Zahl a exi- 

 stirt, für welche die Coefficienten von axty (ax) ganze Zahlen sind. 



Diesen bedeutenden Satz, welcher nur noch eine notwen- 

 dige, aber keine genügende Bedingung dafür enthält, dass eine 

 Eeihe mit rationalen Coefficienten einer algebraischen Gleichung, 

 deren Coefficienten ganze Zahlen sind, genügen kann, hat zuerst 

 Heine * und später Hermite ** bewiesen. 



Der Beweis, welchen ich führen werde, bildet auch den 

 Grund der Verallgemeinerung dieses Satzes, von welcher ich bei 

 anderer Gelegenheit eine Untersuchung mitteilen will. 



In der Potenzreihe, mit rationalen Coefficienten : 



y = 2c n x n = ?ß(x) (1.) 



n=0 



werde ich c als eine ganze Zahl ansehen ; denn, wenn es keine 

 ist, kann man die Wurzeln jener Gleichung, welcher die Potenz- 

 reihe genügt, mit einer geeigneten Zahl so multipliciren, dass für 

 die entstehende Gleichung c als eine ganze Zahl erscheint. 



Wenn eine Potenzreihe, mit rationalen Coefficienten 9ß(x) 

 einer Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten 



f(x,y) = (2.) 



genügt, so ist 



f(x,$(x)) = 0; 



also verschwinden identisch auch alle ihre Differentialquotienten ; 

 ich werde den n-ten Differentialquotienten der Gleichung (1.) in 

 der Stelle x—0 untersuchen. 



Wir bezeichnen nun jene Glieder der Gleichung f(x,y)=0, 

 welche von y unabhängig sind, mit <p (x) ; die übrigen aber ordnet 

 man nach Potenzen von x ; wenn ferner in den mit y multiplicirten 

 Gliedern m der kleinste Exponent von x, und s der grösste ist, so is t 



* Crelle J. 48. Bd. 1854. 

 ** Proceedings of the London Mathernatical Society 1876- Apr. 13. 



