EIN NEUEE BEWEIS EINES EISENSTEIN SCHEN SATZES. 



f(x, y) = x m n (y) + x m + Vi (V) + ' ■ • + x r <Pr-m (y) +'• • •+ 1 



(3.) 



+ Otf^s-m (y) +</>(pC) = 0, 



wo alle <p Functionen von y sind und nach dem oben Gesagten : 



<p(0) = 



ist. 



Den n-ten Differentialquotienten der Gleichung (3) bilden wir 

 nach der LEiBNiTz'schen Form ; es ist leicht zu sehen, dass der 

 n-te Differentialquotient von x r <p r - m (y) in der Stelle x=0 



d n x r (p r -vi (y)~ 



dx T 



v ! 



J £ = 



d U r (f r - m {lj) 



dx 71 - 1 



x=0. 



und der von <p (x) aber n ! c ist, wo c der Coefficient von x 11 in <p(x) 

 ist, derselbe kann also eine ganze Zahl, sogar auch Null werden. 

 Aus dem Gesagten folgt, dass der n-te Differentialquotient 

 der Gleichung (3) 



m\ 



^L^'Ui 



dx n ~* 



d 



n—m—l 



n (y) 



dx* 1 -™' 1 



+ •■• + 



x=0 



+n ! r j [<p n - m (y)] x=0 + n ! c = 

 ist, welchen Ausdruck wir, wenn 



n ! 



m-\-y (m -\-j) ! (n—m—j) ! 



geschrieben und dann die ganze Gleichung mit n ! dividirt wird, 

 folgendermaassen formuliren können : 



in—m—1 



1 



(n—m)\ 



d?o(y) 



+ 



l 



ef 



<pi(y)' 



dx n ~ m - x 



dx n ~ m J x=0 (n—m—l)! 



+ [<Pn- m {y)] x=0 + c = 0, 



dessen eine contrahirte Form 



x=0 



+ ••• + 



ist. 



n—m 

 J=0 



1 



{n—m—j\) 



rA n-m-j 



d 



<pj(yY 



dx n - m ~J . 



z=0 



+ C = 



(4.) 



