EIN NEUER BEWEIS EINES EISENSTEIN SCHEN SATZES. ° 



quotient von <p (y) in der Stelle x=0 mit r ! dividirt werden; in 

 Folge dessen bringen die in Nennern von (4) vorkommenden 

 Faktoriellen im Resultate keine Brüche zu Stande. 



Sondern wir jetzt jenes Glied von der Summe (4) ab, in wel- 

 chem j=0, dadurch ergibt sich der folgende Ausdruck: 



1 



d n - m <p (y) 



{n—m)\ L dx n ~ 



Es ist bekannt, dass 

 d(p (y) 



n—m 



+y » 



=o L*i{n—m 



m —j) ! 



n—m—j 



<pj(y) 



- dx n ~ m -J 



x=0 



+ c=0. (6.) 



dx 



= <p'(y)y', 



^ 1 = < P '(y)y" + <p"(y)(yr, 



^* = <p'(y)y'"+ z<p"(y)y'y"+ <p"\y)(y') 3 , 



allgemein 



d?9>_(y) 

 dx 11 



yXy) y {n) + /p iy) t^y ■> . . . yCr ), (7.) 



(2<r<n, a 1 + a 2 + -" + a r = 1t) 



ist, wo a v a 2 , . . . a r in der Eeihe 1,2,..., n— 1 stehende positive 

 Zahlen sind, und ein jedes # eine bestimmte Function von y ist. 

 Das erste Glied der Gleichung (6) kann also in der folgenden 

 Form geschrieben werden : 



(n—m)\ L dx n ~ m 



d n - m <p (y) 



1 



x= o (n—m) ! 



Wo(y)y {n - m) ] x=Q + 



+ y,fe(!/)f l) f 2) -!/ (at) Lo-/Wc n - ffl +yG(c )c Kl c ff ,..c at , 



WO 



&^2, k^n—m 

 «i + «2 + • ' ' + a fc = « — w 



(8.) 



und G eine Function von c ist. 



