EIN NEUEK BEWEIS EINES EISENSTEIN SCHEN SATZES. ' 



ersten Grades ist. Folglich kann nur y % im Nenner von yc^ vor- 

 kommen, also ist 



eine ganze Zahl. 



In derselben Weise findet man, dass 



gleichfalls eine ganze Zahl ist. 



Allgemein werde ich nun beweisen, dass wenn 



eine ganze Zahl sein muss. 



Es können nämlich im Nenner von yc s+ i nur die Nenner von 

 c v c 2 , . . ., c s vorkommen, also y mit einem solchen Exponenten, 

 welcher folgendermaassen bestimmt werden kann : 



Die allgemeine Form der in der ersten Summe von (10) vor- 

 kommenden Glieder, abgesehen von einem ganzzahligen Coef- 

 ficienten, ist 



Ca, Ca 3 • • • Ca k > 



in diesem Falle 



n— m=s+l, 

 also 



«i + « 2 + • • • + «fe = s +1 ; 



weil ein jedes « kleiner als s+1 ist, also im Nenner von c a ein 

 Faktor ^ 2a_1 noch vorkommen kann; der Exponent des Nenners 

 des allgemeinen Gliedes ist also 



2«!- 1 + 2« 2 - H \r2ok— 1 =2s+2-&, 



welcher am grössten ist, wenn k den kleinsten Wert, k= ( 2,, an- 

 nimmt, infolge dessen ist der höchste Exponent der in den Nennern 

 der ersten Summe vorkommenden Glieder 2s. 



In der zweiten Summe von (10) ist das allgemeine Glied, 

 abgesehen von einem ganzzahligen Factor 



