QUADEATSUMMBN DER BINOMIALCOEFFICIENTEN. ^ 



I. 



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Die Quadratsumme der Binomialcoefficientem, die einer Zahl 

 angehören, ist selbst ein Binomialcoeffitient, sie ist nämlich gleich 

 dem grössten unter jenen Binomialcoefficienten, die dem Zwei- 

 fachen dieser Zahl angehören, d. h. es ist! \ 



JL(af_ha\ 



Um diesen Satz zu beweisen, will ich statt der Quadratsumme 

 mit einer allgemeineren Productsumme beginnen, die jene als 

 einen speciellen Fall in sich schliesst. 



Bilden wir die Productsumme 



k=o\k 



»(wo auch b eine positive ganze Zahl ist, und b<a), und trans- 

 formieren wir sie in folgender Weise : 



Multiplicieren wir die Summe mit dem Producte 



&!=.!•:. 2... b, 



und dividieren wir sie wieder dadurch ; es ist dann : 



Ol k=0 



( b \.a(a-l)...(a-k-{-l).b(b-l)...(k+l) 

 oder in entwickelterer Form geschrieben : 



+ ( b ^ 1 )-a(a-l)...(a-b+Z).b + ( [ b b ).a(a-l).4a-b + i) 



Man kann sich leicht überzeugen, dass die Summe in der 

 Klammer F 1 identisch ist mit der entwickelten Form des Productes 



