QUADRATSUMMEN DER BINOMIALCOEFFICIENTEN. 



89 



-2 W . a(a— 1) . . . (a— ?i+l)+w(n— 1) . 2 n -% . . . (a— w+2)+ 

 n(?2-l) . . . (w— 3) 



+ 



2 



• 2 w - 4 a--.(a— ?? + 3)+ 



Ist nun n=a, so hat man also 



:5a (2a— 1) . . . (a+l)=a! 



2 a +a(a-l)2«- 2 + 



a...(a-3) Qa _ 



2 S 



ga-4 i 



a...(a-5) ^_ 



und hieraus 



a 



2 2 . 3 2 



a \ (a—1 

 \ 1 

 a\ (a— 3 



+ \3/ \ 

 Es ist also in der Tat 



30-6 _j_ . 



a\ /a 



2 



1 1 j r i ^ 2a_i + ii ) r 2 "* 2a ~" 



2*\ 5 9 «- tt /«U«- & 

 a/~ fc fo U/V Ä 



V. 



Es ist 



a 



2 b 



&\kl k %\kl * k ( 2a W 2& 



b 



k r o\kl\k 



Dieser Satz ist die Ergänzung jenes zahlentheoretischen 

 Satzes, den Catalan im Jahre 1873 mittels elliptischer Func- 

 tionen bewiesen hat, und folgenderweise lautet : 



Der Quotient 



(2q) ! (2o) ! 



a ! (a + b) ! b ! 



is£ stete eme ganze Zahl. 



Um obigen Satz zu beweisen, zerlege ich die sogenannte 

 Beta-Function in eine Reihe partieller Brüche von eigentümlicher 

 Form. 



