268 JULIUS FAKKAS. 



Gleichungen reducirt werden ; enthält es drei Ungleichheiten, so 

 kann es immer auf eine Gleichung und auf eine Ungleichheit 

 zurückgeführt werden. Man überzeugt sich davon leicht durch 

 eine geometrische Anschauung, indem man die zwei Unbekannten 

 als Coordinaten eines Punktes in einer Ebene betrachtet, und die 

 Coefficienten paarweise als Richtungscosini von Strahlen auf- 

 fasst, deren Mittelpunkt in dem Anfangspunkte der Coordinaten 

 sich befindet. 



In der Mechanik kommt es oft vor, dass die Anzahl der ge- 

 gebenen Ungleichheiten grösser ist, als die Anzahl der Componen- 

 ten der virtuellen Verrückungen, welche dort die Stelle der Un- 

 bekannten vertreten. Darum wäre es eine Versäumung, wenn in 

 dem Beweise des folgenden Satzes das Verhältniss dieser zweierlei 

 Anzahlen nicht ganz frei gelassen wäre. 



3. Es ist auffallend, dass wenn die linke Seite von (5) als 

 lineare Function der linken Seiten von (4) mit positiven Multipli- 

 catoren dargestellt werden kann, dass dann die Ungleichheit (5) 

 nicht neu in Bezug auf das System (4) ist. Ich behaupte nun das 

 Umgekehrte ; ist eine Ungleichheit (5) nicht neu in Bezug auf das 

 System anderer (4), .so kann dieselbe immer als eine Summe der 

 positiven Vielfachen dieser dargestellt werden. Diese Behauptung 

 ist aber bei weitem nicht evident, und ihr Beweis erfordert die 

 Durchführung einer umständlichen Folgerung. 



Die linke Seite von (5) kann entweder als lineare Function 

 der linken Seiten von (4) dargestellt werden, oder sie kann es nicht. 

 Wenn nicht, so ist leicht zu erkennen, dass (5) neu ist in Bezug 

 auf (4), und die Untersuchung kann auf den entgegengesetzten 

 Fall beschränkt werden. 



Es soll daher vorausgesetzt werden, dass die linke Seite 

 von (5) sich als lineare Function der linken Seiten von (4) dar- 

 stellen lässt. Bleiben dabei in (4) eine oder mehrere Unbekannte 

 ganz willkürlich, so kann die Anzahl der Unbekannten durch 

 lineare Substitutionen herabgesetzt werden und wegen der Ver- 

 einfachung der Beweisführung soll angenommen werden, dass 

 in diesem Falle die Reduction schon vorgenommen wurde. Dann 

 ist die Anzahl der Unbekannten höchstens so hoch, wie diejenige 

 der in (4) enthaltenen Ungleichheiten, und da die linke Seite 



