L. SCHLESINGER. UEB. D. GAUSS'SCHE PENTAGR. MIRIPICUM. 21 



I. 



Wir legen, wie bereits bei einer früheren Gelegenheit*, für 

 eine Fläche vom constanten Krümmungsmaasse h den Ausdruck 



r ]o _ ol/ äp^ + dl* 



des Linien elementes zu Grunde, dann werden die geodätischen 

 Linien durch die Gleichung** 



(1) . . . a(p 2 + q 2 — fc) + 26j> + 2cg = 0, 



wo a, 6, c willkürliche Constanten bedeuten, dargestellt. 



Durch einfache Rechnung findet man, dass die zwischen zwei 

 Punkten mit den Coordinaten (jp 1} g x ), (p 2 , q 2 ) gemessene Bogen- 

 länge s 1;2 , der durch diese Punkte gelegten geodätischen Linie 

 (der geodätische Abstand der beiden Punkte) durch die Formel 



cos 



T/FS o = ^ ~ Pl 2 ~~ Sl ^ ^ ~~ P ^ " ^ ^ 4Ä (Pll>8 + äl«g) 



gegeben wird, und hiernach erscheint es zweckmässig, neben p, q 

 noch 



(2) . . . . . .t-^-f-f) 



als Homogeneitätscoordinate einzuführen, wodurch, wenn 



^-i^'P-A'-sA 



gesetzt wird, der obige Ausdruck die elegante Gestalt 



(3) . . cos y77* 1>2 = ftft +ft« L+Ajfe 



W + & s + h* Vps + b' + t, 



annimmt, wie man mit Rücksicht auf die Identität 



4*(<"+^ + 2«).= (* + 2> 2 + <Z 2 ) 2 

 leicht erkennt. 



* Handbuch der Theorie der lin. Differentialgleichungen, Band II, 2. 

 (Leipzig, 1898), pag. 95. 



** a. a. 0. pag. 97, Gleichung (7). 



