UEBER DAS GAUSS'SCHE PENTAGRAMMA MIRIFICUM. 23 



p' + « = + «0 fjT^q^+ft 1 ' 

 g' + O-fa + ft a.+M,;^ 



dargestellt. Diese Formeln lassen sich in homogenen Beltrami'- 

 schen Coordinaten so schreiben: 



= * + ß* - « 2 _ *«§ , ««v* ^ 



Vi yfc _j_ a « _|_ ß» 7 y& + «* 2 4- ß 2 y*; + <x 2 + ß 3 ? 



(4) 



— 2ccß fc + a 2 — ß 2 . 2ßl/& , 



^ X yk + « 2 + ß 2 X ' |/Ä + a 2 + ß 2 * yÄ; + a 2 + ß 2 



,, 2ccYJc . 2ßYk- a 2 + ß 2 — k 



v yjc + a? + ß 2 1 ' yk + c 2 + ß 2 * y& + « 2 + ß 2 



woselbst 



]/fe + « 2 + ß 2 

 ? "~ (P + «) 2 + (2 + P) 2 ' 



2-J/Ä: V i X J 



gesetzt wurde. Die rechten Seiten von (4) liefern eine sym- 

 metrische orthogonale Substitution von der Determinante — 1, 

 und zwar gleich in der Form, die sich aus der bekannten Euler'- 

 schen Parameterdarstellung (vergl. z. B. Baltzer, Determinanten, 

 5. Aufl., pag. 194) durch Specialisierung ergiebt. 



Durch Composition zweier Substitutionen von der Form (4) 

 erhalten wir demnach die allgemeinste Transformation eines 

 Systems homogener BELTRAMi'scher Coordinaten in ein anderes, 

 oder q. i. e. die Darstellung der allgemeinsten Verschiebung der 

 Fläche vom constanten Krümmungsmaasse Je in sich selbst. Da 

 dieselbe für die Quotienten 



p q 



t > t 



offenbar eine projeetive Substitution ist und überdies nur die Be- 

 dingung zu erfüllen hat, class sie den Kreis 



p* + q* + ft = 

 oder 2 2 • 



nicht verändert, so erkennt man a priori, dass diese Transformation, 

 abgesehen von einem Proportionalitätsfactor, einer auf p, q, t aus- 



